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Niveau troisième
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Thalès et médiane...intéressant...

Posté par
matt_2010
11-10-06 à 17:43

Salut !! je suis nouveau ici !! j'espère que je serai à la hauteur pour vous aider
*
*
*
Pour le moment j'ai besoin de votre aide, voilà l'énoncé :
ABC un triangle quelconque.
I le milieu de [BC] et M un point du segment [AI].
La droite (BM) coupe la droite (AC) en E.
La droite (CM) coupe la droite (AB) en F.
- Démontrez que (EF) est parallèle à (BC)
*
*
*
Merci de me donner des indices avec lesquels je peux travailler.

édit Océane

Posté par
matt_2010
Thalès et médiane...intéressant... 11-10-06 à 17:46

Salut !! je suis nouveau ici !! j'espère que je serai à la hauteur pour vous aider
*
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*
Pour le moment j'ai besoin de votre aide, voilà l'énoncé :
ABC un triangle quelconque.
I le milieu de [BC] et M un point du segment [AI].
La droite (BM) coupe la droite (AC) en E.
La droite (CM) coupe la droite (AB) en F.
- Démontrez que (EF) est parallèle à (BC)
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Merci de me donner des indices avec lesquels je peux travailler.

*** message déplacé ***

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Thalès et médiane...intéressant... 11-10-06 à 17:48

Bienvenue sur le forum, matt_2010

Sache que le multi-post est interdit ici.
Tu as déjà posté cet exercice :
https://www.ilemaths.net/sujet-thales-et-mediane-interessant-94230.html

Mathîliens, merci de ne pas répondre ici.

Nicolas

*** message déplacé ***

Posté par
matt_2010
personne ? 11-10-06 à 23:21

Alors personne pour m'aider ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Thalès et médiane...intéressant... 14-10-06 à 09:20

Une réponse hors-programme en Troisième, avec les barycentres :

Il existe a tel que :
M = Barycentre A,1-2a I,2a
M = Barycentre A,1-2a B,a C,a

F appartient à (MC), donc est barycentre de M et C.
Il existe b tel que :
F = Barycentre M,1 C,b
F = Barycentre A,1-2a B,a C,a C,b
F = Barycentre A,1-2a B,a C,a+b
Or M appartient à (AB), donc le coefficient de C doit être nul :*
F = Barycentre A,1-2a B,a
De même :
E = Barycentre A,1-2a C,a
Et on conclut par Thalès.

Posté par
matt_2010
re : Thalès et médiane...intéressant... 16-10-06 à 19:54

Merci pour ta réponse, mais elle n'est pas claire, je n'ai rien compris !!
Est ce que vous pouvez me donner une réponse plus facile et plus claire, car là ...
J'en demande trop, mais j'ai vraiment besoin de votre aide.
Merci d'avance

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Thalès et médiane...intéressant... 17-10-06 à 17:33

Je tente une autre démonstration, qui nécessitera plusieurs messages, en raison des figures. Mais elle n'utilise que des outils de Troisième.

Commençons par énoncer un théorème simple, que j'ai découvert pendant cette animation sur Thalès :
http://www.mathkang.org/swf/thales2.html
signalée par lucas951 dans ce fil :
https://www.ilemaths.net/sujet-qeuelqu-un-peut-il-m-expliquer-le-theoreme-de-thales-95419.html

Propriété 1. Soit un triangle ABC, et M un point de [BC]. La droite (AM) sépare le triangle en deux parties, dont les aires vérifient :
3$\fbox{\frac{\mathscr{A}(AMB)}{\mathscr{A}(AMC)}=\frac{MB}{MC}}

Thalès et médiane...intéressant...

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Thalès et médiane...intéressant... 17-10-06 à 17:40

Démonstration de la propriété 1.
Soit H le pied de la hauteur issue de A.
3$\mathscr{A}(AMB) = \frac{1}{2}\times AH\times MB
3$\mathscr{A}(AMC) = \frac{1}{2}\times AH\times MC
En divisant membre à membre, on obtient :
3$\frac{\mathscr{A}(AMB)}{\mathscr{A}(AMC)}=\frac{MB}{MC}

Thalès et médiane...intéressant...

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Thalès et médiane...intéressant... 17-10-06 à 17:44

Propriété 2. Soit un triangle ABC, et I le milieu de [BC].
La médiane (AI) coupe le triangle ABC en deux triangles AIB et AIC d'aires égales :
3$\mathscr{A}(AIB)=\mathscr{A}(AIC)

C'est une conséquence immédiate de la propriété 1.

Thalès et médiane...intéressant...

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Thalès et médiane...intéressant... 17-10-06 à 17:55

Résolution de l'exercice.

Thalès et médiane...intéressant...

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Thalès et médiane...intéressant... 17-10-06 à 18:08

On applique la propriété 2 au triangle BMC de médiane (MI) :
\mathscr{A}(MIB)=\mathscr{A}(MIC)
Appelons b cette aire commune.

Appelons w et z les aires des 2 triangles supérieurs :
w = \mathscr{A}(AFM)
z = \mathscr{A}(AEM)

On applique la propriété 2 au triangle ABC de médiane (AI) :
\mathscr{A}(AIB)=\mathscr{A}(AIC)
Appelons a cette aire commune.

Par différence :
\mathscr{A}(FMB)=a-b-w
\mathscr{A}(EMC)=a-b-z

Soit x=\frac{AF}{FB} et y=\frac{AE}{EC}
On veut montrer que x=y pour appliquer ensuite le théorème de Thalès.

On applique la propriété 1 au triangle AMB partagé par (MF) :
x=\frac{w}{a-b-w} (1)
On applique la propriété 1 au triangle ABC partagé par (CF) :
x=\frac{w+z+(a-b-z)}{(a-b-w)+w+w}=\frac{a-b+w}{a+b-w} (2)
En comparant (1) et (2), il vient :
\frac{w}{a-b-w}=\frac{a-b+w}{a+b-w}
On fait un produit en croix, les w^2 s'éliminent, et il reste :
w=\frac{(a-b)^2}{a+b}
Donc, en utilisant (1) :
x=\frac{\frac{(a-b)^2}{a+b}}{a-b-\frac{(a-b)^2}{a+b}}
\fbox{x=\frac{(a-b)^2}{2ab}}

De la même manière...

On applique la propriété 1 au triangle AMC partagé par (ME) :
y=\frac{z}{a-b-z} (3)
On applique la propriété 1 au triangle ABC partagé par (BE) :
y=\frac{w+z+(a-b-w)}{(a-b-z)+z+z}=\frac{a-b+z}{a+b-z} (4)
En comparant (3) et (4), il vient :
\frac{z}{a-b-z}=\frac{a-b+z}{a+b-z}
On fait un produit en croix, les z^2 s'éliminent, et il reste :
z=\frac{(a-b)^2}{a+b}
Donc, en utilisant (3) :
y=\frac{\frac{(a-b)^2}{a+b}}{a-b-\frac{(a-b)^2}{a+b}}
\fbox{y=\frac{(a-b)^2}{2ab}}

Donc x=y
et la propriété de Thalès permet de conclure.

Sauf erreur.

J'ai bien conscience que c'est un peu lourd.
Une solution plus simple est peut-être en train de m'échapper...

Nicolas

PS - les figures ont été réalisées avec TeXgraph

Posté par
matt_2010
re : Thalès et médiane...intéressant... 18-10-06 à 23:07

Ta démonstration est très ingénieuse !! je te félicite, j'ai compris le début jusque là, ou j'ai trouvé un problème :

On fait un produit en croix, les w² s'éliminent, et il reste :
w = (a-b)²/a+b
Donc, en utilisant (1) :
y = (a-b)²/a+b  /  a-b-(a-b)²/a+b

1) comment as-tu éliminé les w² ?
2) le dénominateur de y : a-b-... je ne sais pas d'où ça vient

Merci de m'aider encore une fois

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Thalès et médiane...intéressant... 19-10-06 à 02:10

Zoom :
En comparant (1) et (2), il vient :
\frac{w}{a-b-w}=\frac{a-b+w}{a+b-w}
On fait un produit en croix :
(a-b+w)(a-b-w)=w(a+b-w)
Identité remarquable à gauche. On développe à droite.
(a-b)^2-w^2=w(a+b)-w^2
les w^2 s'éliminent, et il reste :
(a-b)^2=w(a+b)
w=\frac{(a-b)^2}{a+b}

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Thalès et médiane...intéressant... 19-10-06 à 02:12

matt_2010, j'ai 2 questions :
1) Tu es sur de nous avoir donné tout l'énoncé : il n'y a pas de question précédente ou intermédiaire ?
2) D'où vient cet exercice ?

Cordialement,

Nicolas

Posté par Dasson (invité)re : Thalès et médiane...intéressant... 19-10-06 à 09:54

Mêmes questions que celles de Nicolas.

Soit K le projeté de E sur (AI) parallélement à (BC).
Montrer que KA/KM=IA/IM (double application de Thalès).
Autrement dit, K est le conjugué harmonique de I par rapport à   A,M.

Soit L le projeté de F sur (AI) parallélement à (BC).
Montrer de même que L est le conjugué harmonique de I par rapport à A,M.

En déduire que K=L et que (EF)//(BC).

Posté par
matt_2010
re : Thalès et médiane...intéressant... 19-10-06 à 22:11

Merci pour le zoom nico, j'ai passé 30min hier à comprendre l'élimination de w², je l'ai trouvé tt seul en classe...
Pour vos questions :

1) Je suis absolument sûr de vous avoir donné tout l'énoncé !! je l'ai lu et relu des fois et des fois...donc je l'ai appris par coeur...quoi !
2) Notre MERVEILLEUX prof nous a donné une série d'exercices, c'était le dernier, le plus difficile, je ne sais pas d'où il l'a pris

-Ma-

Posté par
plumemeteore
re : Thalès et médiane...intéressant... 20-10-06 à 00:15

bonsoir Matt
je crois qu'il y a plus simple : en passant par la réciproque
on a donc le point f; soit la parallèle à bc par f, qui coupe bc en e' et ai en h
les triangles mhf et mic sont semblables (des angles égaux comme opposés ou comme alternes internes) d'où hm/mi = fh/ic
or suivant les théorèmes de Thalès, bi = ic entraîne fh = he'
donc hm/mi = bi/he'
les triangles mhe' et mib ont donc deux côtés proportionnels chacun à chacun avec entre eux les angles mhe' et mib égaux comme alternes internes; ils sont semblables
les angles bmi et hme' sont égaux; hm et mi étant sur une même droite, il en est de même de bm et me'
ce qui veut dire que e' se confond avec e et que fe est aussi parallèle à bc

Posté par
matt_2010
re : Thalès et médiane...intéressant... 07-11-06 à 14:40

Très bonne méthode...on a fais une correction plus simple, mais très proche de celle-ci, en ajoutant la symétrique du point M par rapport à I, ce qui donne deux triangle vérifiant le théorème de Thalès.

Toutefois, le prof cherche à connaître la méthode avec l'aire ...

Merci pour tout !!!

-Ma-

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Thalès et médiane...intéressant... 07-11-06 à 15:26

Voilà une nouvelle illustration que, même face à un exercice difficile, on peut mobiliser plusieurs méthodes. Comme quoi il ne faut jamais se décourager !

Pour ma part, je t'en prie.

Nicolas

Posté par
matt_2010
re : Thalès et médiane...intéressant... 08-11-06 à 20:05

Sauf que pour diversifier les méthodes...faut être sacré Einstein

..lol..le prof me supplie encore une fois pour connaitre ta méthode nico mdrrrr

Je ne vais plus le faire languir, demain sa fête

-Ma-

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Thalès et médiane...intéressant... 09-11-06 à 06:40

En comparaison des autres propositions, "ma" méthode me semble originale, mais loin d'être meilleure : trop longue !



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