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Thème: Fonction dérivée

Posté par
fc1515
25-03-19 à 22:34

Bonjour, je suis actuellement une élève de 1S et j'ai deux exercices sur les fonctions dérivées. Je viens donc solliciter votre aide afin de valider ou bien me guider lors d'une correction  d'un question fausse. Voici les énoncées:

Exercice n°1:

***Exercice supprimé***

Thème: Fonction dérivée

Exercice n°2:

Soi f la fonction définie sur R\{1} par f(x)= ax+b+1/(x-1) avec a et b des réels.

a) Déterminer la fonction dérivée de f.

b) C est la représentation graphique de f dans un repère. On sait que C coupe l'axe des ordonnées au point A(0;1) et admet en ce point A une tangente horizontale. Démontrer que a=1 et b=2

c) Soit T la tangente à C au point d'abscisse 3. Montrer que T a pour équation y=0.75x+3.25

d) Déterminer le signe de (0.25x²+x-1.25)/(x-1) sur R\{1}.

e) En déduire la position de T par rapport à C.

PS:  En soit, l'exercice 1 ne me pose pas vraiment de soucis, en revanche le 2 si. Je note également que je n'ai jamais vue comment trouver le signe d'une fonction par le biais des dérivées.

Mes réponses:


Exercice n°2:

a) f(x)= ax+b+1/(x-1)
u=ax
u'=a
v=x-1
v'=1
f'(x)= a+0-1/(x-1)² -----> J'ai utilisé (u+v)' et (1/u)'

b) A --> x=0 et y=1
f'(0)= a-1/(0-1)²
         =a-1/1²
         =a-1/1
         <=>a=1

On a f(0)=1
Donc f(0)=b+1/(-1)
                     =b-1
                     <=>a=b-1
                     <=>1=b-1
                     <=>1+1=b
                     <=>b=2

c) On connaît y=f'(a)(x-a)+f(a) et m(h)=(f(a+h)-f(a))/h
Donc f'(3+h)= 1+2+1/((3+h)-1)
                            = 3+1/((3+h)-1)
                            =4/((3+h)-1)
                            =4/(-3-h)
et f(a)=1+2+1/(3-1)
              =4/2
              =2
m(h)=((4/(-3-h)-2)/h
           =4/(-3)-2
           =-10/3

y= -10/3(x-3)+2
   =-10/3x-8

(Pour cette question je suis vraiment perdue, je ne retrouve pas du tout le résultat indiqué)

d) Pour cette question j'ai essayé de trouver quelques indices sur internet, mais le problème c'est que je trouve un discriminant égale à 0, or je n'ai pas trouvé d'exemple le concernant, donc j'ai tout de même essayé.

f(x)=(0.25x²+x-1.25)/(x-1)
(u/v)'=(u'v-uv')/v²
u=0.25x²+x-1.25
u'=0.50x+1
v=x-1
v'=1

f'(x)=((0.50x+1)(x-1)-(0.25x²+x-1.25)*1)/(x-1)²
         =(0.50x²-0.50x+x-1-0.25x²-x+1.25)/(x-1)²
         =(0.25x²-0.50x+0.25)/(x-1)²

Le signe de la fonction va dépendre du numérateur car le dénominateur est un carré, il est donc forcément positif.

0.25x²-0.50x+0.25 est une fonction polynôme du second degrés de la forme ax²+bx+c, je vais donc utiliser le discriminant delta.

delta= b²-4ac
            =(-0.50)²-4*0.25*0.25
            =0.25-4*0.25*0.25
            =0

Comme delta=0, la fonction n'a qu'une solution
-(b)/(2*a)=-(-0.50)/(2*0.25)=1

x                                        |  -oo                         1                             +oo
(x-1)²                              |               +                 ||                  +
0.25x²-0.50x+0.25 |               -                 ||                   +

(Je ne suis également pas sûre pour cette question)

e) Pour cette question, je ne vois pas trop comment m'y prendre, je pense que ça un lien avec les questions c) et d), donc je suis un peu bloquée.

*** message dupliqué ***

Posté par
Priam
re : Thème: Fonction dérivée 26-03-19 à 11:43

c) Tu n'as pas besoin d'introduire  h  et  m(h)  puisque tu as calculé f '(x).
Il suffit donc de calculer f(3) et f '(3) pour pouvoir écrire l'équation de la tangente.

Posté par
fc1515
re : Thème: Fonction dérivée 26-03-19 à 17:49

c) f(3)= 3+2+1/(3-1)
             = 6/2
             =3

f'(3)= 1+0-1/(3-1)²
         = 0/2²
         =0/4
          =0

Donc y=f'(a)(x-a)+f(a)
             y=0(x-0)+3
             y=0x-0+3
             y=3

Est-ce normal de trouver uniquement 3?

Posté par
Priam
re : Thème: Fonction dérivée 26-03-19 à 18:26

c) Tes calculs de f(3) et f '(3) sont erronés.
Par exemple, pour f(3), la première ligne est juste, mais pas la suivante.
Essaie de corriger tes erreurs de calcul.

Posté par
fc1515
re : Thème: Fonction dérivée 26-03-19 à 19:10

Ah oui, j'ai encore fait l'erreur de ne pas mettre au même dénominateur… Je reprends:

f(3)=3+2+1/(3-1)
        =3+2+1/2
        =6/2+4/2+1/2
        =11/2
         =5.5

f'(3)=1+0-1/2²
          = 1+0-1/4
          =4/4+0/4-1/4
          =4/4-1/4
          =3/4
          =0.75

y=f'(a)(x-a)+f(a)
   =0.75(x-3)+5.5
   =0.75x-2.25+5.5
   =0.75x-3.25

Là ça me paraît beaucoup plus logique.

Posté par
Priam
re : Thème: Fonction dérivée 26-03-19 à 19:19

C'est juste (mais erreur de signe à la dernière ligne).

Posté par
fc1515
re : Thème: Fonction dérivée 27-03-19 à 16:31

Ah oui, faute de frappe.
Par la suite j'ai repris la question d) et voici ce que j'ai trouvé:

0.25x²+x-1.25

delta=b²-4ac
           =1²-4*0.25**(-1.25)
           =1+1.25
           =2.25

delta>0, il y a 2 solutions:

x1=-(b-racine de delta)/2a
      =-(1-racine2.25)/(2*0.25)
      =-(1-racine2.25)/0.50
      =-2.5/0.50
      =-5

x2=-(b+racine de delta)/2a
      =-(1+racine2.25)/(2*0.25)
      =-(1+racine2.25)/0.50
      =0.50/0.50
      =1

x-oo-51                                                                        +oo
0.25x²-x-1.25           +0         -||0        +
x-1                   -                  -||0            +
(0.25x²-x-1.25)/(x-1)          -          -||0        +

Posté par
Priam
re : Thème: Fonction dérivée 27-03-19 à 18:48

Ton calcul pour x1 et x2 est incorrect. Malgré tout, les valeurs de x1 et x2 que tu trouves sont exactes !
Je te conseille de corriger ton calcul.
La dernière ligne de ton tableau comporte une erreur.

Posté par
fc1515
re : Thème: Fonction dérivée 27-03-19 à 21:13

Si mes calculs sont correcte, c'est sûrement que sur informatique j'ai écrit la formule avec des parenthèses, mon - n'est pas en facteur, il s'applique uniquement au b. Et pour mon tableau, je penses que ma colonne n°3 dernière ligne, cela doit être un + comme j'ai deux -

Posté par
Priam
re : Thème: Fonction dérivée 27-03-19 à 22:12

C'est cela; il ne fallait pas ces parenthèses, mais d'autres simplement pour entourer le numérateur :  (- b )/2a .
Correction du tableau : d'accord.

Posté par
fc1515
re : Thème: Fonction dérivée 28-03-19 à 16:43

Super, merci

Ensuite pour la e) j'ai recherché et voici mes résultats:

C-T=(0.25x²+x-1.25)/(x-1)-(0.75x+3.25)
                 =(0.25x²+x-1.25)/(x-1)-((x-1)0.75x+3.25)/(x-1)
                 =(0.25x²+x-1.25)/(x-1)-(0.75x²+3.25x-0.75x-3.25)/(x-1)
                 =(0.25x²+x-1.25)/(x-1)-(0.75x²+2.50-3.25)/(x-1)
                 =(0.25x²+x-1.25-0.75x²-2.50x+3.25)/(x-1)
                 =(-0.50x²-1.50x+2)/(x-1)

delta=b²-4ac
           =(-1.50)²-4*(-0.50)*2
           =6.25

x1=4 et x2=-1 (j'ai appliqué les formules sur papier)

x-oo-14              +oo
-0.50x²-1.50x+2+-+
x-1--+
(-0.50x²-1.50x+2)/(x-1)-++


Dans le tableau à chaque changement de signes il y a un 0

f(x)<(ou égale)g(x) sur ]-oo;-1]. Dans ce cas, T est au dessus de C.
f(x)>'ou égale)g(x) sur [-1;+oo[. Dans ce cas, T est au dessus de C.

Posté par
hekla
re : Thème: Fonction dérivée 28-03-19 à 16:55

Bonjour

  le tableau est faux

manque 1 qui n'appartient pas à l'ensemble de définition

un trinôme du second degré est du signe de a  ici -1 à l'extérieur des racines

Avez-vous pensé à tracer les deux courbes ?

Posté par
fc1515
re : Thème: Fonction dérivée 28-03-19 à 17:16

Bonjour,

Oui, j'ai tracé sur ma calculatrice et je vois qu'elles se coupent en environs -5.5 et environs 2, je ne vous pas du tout comment arriver a ces résultats. Et pour la première ligne oui, il faut inverser tous le signes du tableau car a est négatif. Cependant, je n'est pas compris votre première phrase.

Posté par
hekla
re : Thème: Fonction dérivée 28-03-19 à 17:24

vous avez une fraction  elle n'est définie que si le dénominateur est non nul donc sur \R\setminus\{1\}

Posté par
fc1515
re : Thème: Fonction dérivée 28-03-19 à 17:29

Ah, donc il faudra que j'ajoute une colonne avec 1 en valeur interdite mais sans changer les signes?

Posté par
hekla
re : Thème: Fonction dérivée 28-03-19 à 17:38

il y aura forcément un changement de signe à 1

là vous avez mis pour x-1 un signe -   entre - 1 et 4 non c'est - entre -1 et 1 et + entre 1 et 4

Posté par
fc1515
re : Thème: Fonction dérivée 28-03-19 à 17:58

x-oo-114+oo
-0.50x²-1.50x+2+--+
x-1--++
(-0.50x²-1.50x+2)/(x-1)-+-+


Mais mes résultats de delta étaient correcte, c'est se dont j'étais la moins sûre?

Posté par
hekla
re : Thème: Fonction dérivée 28-03-19 à 18:20

je n'avais pas vérifié les racines de -0,5x^2-1,5x+2

ce sont -4 ou 1
d'où le tableau

Thème: Fonction dérivée

Posté par
fc1515
re : Thème: Fonction dérivée 28-03-19 à 18:25

D'accord, j'avais inversé les 2 chiffres… Par contre j'ai hésiter a calculer f(x)-T soit x+2+1/(x-1)-0.75x+3.75 car la consigne est de comparer C et T. Cependant, je ne verrais pas le rapport avec la question précédente.

Posté par
hekla
re : Thème: Fonction dérivée 28-03-19 à 19:10

j'ai pris votre sujet en cours  et je n'ai pas fait attention  à ce que vous avez fait  j'ai juste considéré le résultat que vous avez donné

on reprend tout

où avez-vous été cherché votre expression ?  ce n'est pas celle dont on demandait d'étudier le signe

donc tout le travail depuis 16 :43 n'a servi à rien

f(x)=x+2+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{(x+2)(x-1)+1}{x-1}=\dfrac{x^2+x-1}{x-1}

tangente en 3  y= 0,75x+3,25

différence des ordonnées  entre un point de la courbe et un point de la droite de même abscisse   f(x)-(0,75x+3,25)


\dfrac{x^2+x-1-(0,75x+3,25)(x-1)}{x-1}=\dfrac{x^2+x-1-(0.75x^2+2,5x-3,25)}{x-1}=\dfrac{0,25x^2-1,5x+2,25}{x-1}


n'y aurait-il pas une erreur dans le texte ?  sinon aucun rapport avec la position de C et T

on va donc prendre cette expression   pour étudier son signe or   0,25x^2-1,5x+2,25=(x-3)^2


d'où signe de \dfrac{(x-3)^2}{(x-1)}

Posté par
hekla
re : Thème: Fonction dérivée 28-03-19 à 19:15

la courbe C et la tangente en 3

Thème: Fonction dérivée

Posté par
fc1515
re : Thème: Fonction dérivée 28-03-19 à 19:20

Non j'ai recopier sans fautes le sujet, tout est conforme. J'avais sur papier fait exactement les mêmes calculs, mais j'avais également constaté qu'il n'y avais aucun rapport avec la question d). J'ai donc tenter de proposer mon protocole qui me paraissait forcément faux, j'aurais tenté, Je penses que c'est une erreur de mon professeurs, car mes camarades de classes sont également dans le même cas que moi.

Donc si je reprends la dernière expression sans lien avec la question d) il faudrait que je fasse le tableau de signe du numérateur puis du dénominateur et finir par le quotient comme vous?

Posté par
fc1515
re : Thème: Fonction dérivée 28-03-19 à 19:23

Ah, oui cela me donne exactement ces courbes sur ma calculatrice

Posté par
hekla
re : Thème: Fonction dérivée 28-03-19 à 19:38

si vous avez la possibilité de le joindre avant l'échéance  essayez

sinon prendre le texte tel qu'il est  \dfrac{x^2+x-1,25}{x-1}

les racines du trinôme sont 1 et-5 donc  pas de problème  pour faire le tableau de signes

à quelques détails près  c'est celui de 18:20

ensuite

soit vous dites  que cela n'a aucun rapport

soit vous reprenez  les calculs qu'il aurait fallu faire   signe de \dfrac{(x-3)^2}{x-1} et vous concluez  quant à la position relatve de C et T

je pense que l'erreur provient de l'oubli de +1 lors du développement de (x+2)(x-1)+1

Posté par
fc1515
re : Thème: Fonction dérivée 28-03-19 à 19:52

Eh bien je pense que je prendrais la deuxième option qui me paraissait plus fiable. Je vous remercie de votre aide qui m'as été très précieuse. Bonne soirée

Posté par
hekla
re : Thème: Fonction dérivée 28-03-19 à 20:07

c'est souvent pénible un texte comportant des erreurs

de rien
Bon courage pour la rédaction
Bonne soirée



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