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Théorème centrale limite pour \bar{x}_{n}-\mu\right

Posté par
blouis 30-01-22 à 11:12

Bonjour,
Je bloque sur ce problème soit x_1, .., x_n un échantillon aléatoire. Soit E\left(x_{i}\right)=\mu, \operatorname{Var}\left(x_{i}\right)=\sigma^{2} E\left(\bar{x}_{n}\right)=\mu \quad \operatorname{Var}\left(\bar{x}_{n}\right)=\sigma^{2} / n \quad \bar{x}_{n} approxime N\left(\mu, \sigma^{2} / n\right) lorsque \mathrm{n} est grand.

On veut montrer que

\\ \bar{x}_{n}-\mu \quad: \quad E\left(\bar{x}_{n}-\mu\right)=0 \quad \operatorname{Var}\left(\bar{x}_{n}-\mu\right)=\sigma^{2} / n \\

Le problème que j'ai c'est au niveau de la preuve de la variance, j'avais commencé à faire, où je pense que la moyenne empirique et l'espérance sont indépendants donc on peut mettre la covariance à zéro, sans être sur, peut être car les échantillons sont iid ?

\\ \begin{aligned} \\ Var(\bar{x}_n - \mu) &= Var(\bar{x}_n) + Var(\mu) - 2cov(\bar{x}_n, \mu) \\ \\ &= E(\bar{x}_n^2) - E(\bar{x}_n)^2 + E(\mu^2) - E(\mu)^2 \\ \\ &= E(\frac{1}{n^2} \sum x_i^2) - E(\frac{1}{n}\sum x_i)^2 + E(\mu^2) - \mu^2 \\ \end{aligned} \\

Et la je suis plus trop sur, est-ce que E(\mu^2) = \mu^2? Et pour le reste du calcul je suis bloqué. Merci pour votre aide

Posté par
carpediemre : Théorème centrale limite pour \bar{x}_{n}-\mu\right 30-01-22 à 11:50

salut

je suppose que \bar x_n = \dfrac 1 n \sum_1^n x_i

la somme est donc finie et donc :

la linéarité de l'espérance donne immédiatement que E( \bar x_n ) = m = E(x_i)

quand à la fin de ton calcul : si m est une constante alors m^2 est aussi une constante donc E(m^2) = m^2

Posté par
blouisre : Théorème centrale limite pour \bar{x}_{n}-\mu\right 30-01-22 à 12:41

Donc on aurait, en utilisant \operatorname{Var}(X)=E\left(X^{2}\right)-E(X)^{2}

\\ \begin{aligned} \\ &=E\left(\frac{1}{n^{2}} \sum x_{i}^{2}\right)-\mu^2 \\ \\ &= \frac{1}{n^2}\sum E(x_i^2) - \mu^2 \\ \\ &= \frac{1}{n^2}\sum(Var(x_i) - E(x_i)^2) - \mu^2\\ \\ &= \frac{1}{n^2} \sum(\sigma^2 - \mu^2) - \mu^2 \\ \\ &= \frac{1}{n} \sigma^2 - \frac{1}{n}\mu^2 - \mu^2 \\ \end{aligned} \\

Et il y'a un bug dans ce que j'ai fais

Posté par
carpediemre : Théorème centrale limite pour \bar{x}_{n}-\mu\right 30-01-22 à 12:49

comment se calcule la covariance ...

peut-être revenir à la définition ...

Posté par
Zrunre : Théorème centrale limite pour \bar{x}_{n}-\mu\right 31-01-22 à 21:52

Bonsoir ,

Il suffit de revenir à la définition de la variance Var(Y) = \mathbb{E}[(Y-\mathbb{E}(Y))^2] et utiliser la linéarité de la variance

Posté par
Zrunre : Théorème centrale limite pour \bar{x}_{n}-\mu\right 31-01-22 à 21:52

Linéarité de l'espérance biensur !

Posté par
jarod128re : Théorème centrale limite pour \bar{x}_{n}-\mu\right 01-02-22 à 13:19

Bonjour blouis, ton "bug" est que c'est 1/n au lieu de 1/n^2 dans ton calcul


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