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Théorème D'Al-Kashi

Posté par
R3MY41
20-05-17 à 10:23

Bonjour ;
J'ai un DM (devoir maison) de maths , un de mes amis a trouver une "partie" de réponse mais je ne voie pas comment passer de : cos²(A) = ( b²+c²-a² / 2xbxc )² à sin²(A) =  1 - ( b²+c²-a² / 2xbxc )² car dans mon cour je n'ai appris que les formules avec les cosinus :
a² = b² + c² -2 x b x c x cos(A)
b² =a² + c² -2 x a x c x cos(B)
c² =b² + a² -2 x b x a x cos(C)
et aucune formule avec les sinus ;( Merci d'avance.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Théorème D'Al-Kashi 20-05-17 à 10:26

Bonjour

Tu sais certainement que \sin^2(x)+\cos^2(x)=1

Posté par
R3MY41
re : Théorème D'Al-Kashi 20-05-17 à 10:59

Merci beaucoup Camélia !

Posté par
R3MY41
re : Théorème D'Al-Kashi 20-05-17 à 11:24

Une autre question il faut "monter" que 1/2bc Sin(A) = (racine) p(p-a)(p-b)(p-c)
avec p comme 1/2 périmètre du triangle.
J'ai comme informations : Sin(A) = 2 (racine) p(p-a)(p-b)(p-c) / bc
Je n'ai pas de propriété pour montrer cela pourrait-tu m'éclairer ? Merci d'avance

Posté par
mathafou Moderateur
re : Théorème D'Al-Kashi 20-05-17 à 12:44

Bonjour,

encore une évidence
A = B/C A.C = B

maintenant s'il s'agit de démontrer n'importe laquelle de ces deux relations équivalentes (non décrétée comme "admise" par l'énoncé) c'est une autre histoire !

la factorisation directe de l'expression en a,b,c de sin2(A) du calcul précédent est envisageable dans le cadre de la logique de l'exo (succession logique des questions de l'exo)...

utiliser à outrance l'identité a² - b² = (a+b)(a-b) et faire preuve de (beaucoup) d'imagination pour les voir ces multiples identités remarquables...

Posté par
pgeod
re : Théorème D'Al-Kashi 20-05-17 à 13:37

1/2bc Sin(A) = (racine) p(p-a)(p-b)(p-c)  ??

Chacune de ces formules donnent l'aire S du triangle (ABC)
S =  1/2bc Sin(A)
S = (racine) p(p-a)(p-b)(p-c)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Théorème D'Al-Kashi 20-05-17 à 13:50

sauf que la formule donnant l'aire du triangle en racine de machin (formule de Heron) il faudrait la démontrer avant
elle n'est dans aucun cours à ce niveau il me semble.
et que si ça se trouve c'est en sens contraire la démonstration :
on démontre d'abord ce qui est demandé dans l'exo sur le sin(A)
et on en déduit ensuite la formule de Heron !!

tout est exclusivement une histoire de factorisation de

sin²A = 1 - ((b²+c²-a²)/(2bc))² de la question d'avant

alors si tu utilises une formule (Heron) qui a été démontrée ailleurs (dans un cours qui n'existe pas) à partir de cette formule en sin²(A), pour démontrer ici la formule en sin²(A) qui a servi à démontrer la formule de Heron, où va-t-on...

Posté par
pgeod
re : Théorème D'Al-Kashi 20-05-17 à 22:07

Citation :
car dans mon cour je n'ai appris que les formules avec les cosinus :
a² = b² + c² -2 x b x c x cos(A)
b² =a² + c² -2 x a x c x cos(B)
c² =b² + a² -2 x b x a x cos(C)
et aucune formule avec les sinus ;( Merci d'avance.

Les formules en sinus qui sont devraient normalement être connues :
a/sin(A)= b/sin(B) = c/sin(C) = 2R avec R = rayon du cercle circonscrit

Posté par
mathafou Moderateur
A = 20-05-17 à 22:57

"de mon temps" les formules demandées à démontrer dans cet exo ici étaient dans le cours (de seconde)
bon nombre d'un tas de "formules" sont désormais supprimées des cours et parfois vues en exo au hasard des exos qui sont faits...

en tout cas on n'en a pas besoin ici.

nota : je viens de regarder dans mon bouquin de seconde (édition de 1962), on suivait exactement le cheminement de cet exo
sans aucune autre formule on part de Al Kashi (qui ne s'appelait certes pas Al Kashi à l'époque, ce nom là est une "invention moderne)
==> sin²A (par sin² = 1-cos²) ==> puis sinA = la formule demandée en racine carrée, par factorisation directe et c'est tout,
comme j'ai dit en fait

Posté par
pgeod
re : Théorème D'Al-Kashi 21-05-17 à 08:26

Je viens de regarder mes bouquins de seconde (édition de 1972).
IL n'y avait déjà plus de trigo en 73, alors qu'on en faisait
un peu en troisième l'année précédente.



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