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Niveau Maths sup
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Théorème de Bernstein sur les fonctions absolument monotones

Posté par
Serphone
28-03-17 à 18:53

Bonjour,

Je bloque sur la dernière partie d'un problème sur les fonctions absolument monotones, qui sont définies comme suit:
Une fonction f définie sur un intervalle I à valeurs dans \R est absolument monotone (abrégé AM) lorsque f et toutes ses dérivées successives sont positives sur I.

Dans cette partie, f est une fonction AM sur [0, a]. On pose \mathcal{T}_{n,f}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}f^{(k)}(0).
\mathcal{T}_{n,f}(x) est appelé le polynôme de Taylor de f à l'ordre n.

1. Exprimer la dérivée de \mathcal{T}_{n,f}(x) en fonction d'un polynôme de Taylor de f'. En déduire que f(x)-\mathcal{T}_{n,f}(x)\ge{0} pour tout x dans [0,a]

2. Montrer la relation f(x)-\mathcal{T}_{n,f}(x)=\frac{x^{n+1}}{n!}\int_{0}^{1}(1-t)^nf^{(n+1)}(tx)dt. On pourra procéder par récurrence à l'aide d'une intégration par parties.
En déduire que la fonction g:x\mapsto\frac{f(x)-\mathcal{T}_{n,f}(x)}{x^{n+1}} est croissante.

3. Démontrer le théorème de Bernstein: \forall{x}\in[0,a[, \mathcal{T}_{n,f}(x)\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}f(x). Montrer aussi le résultat en a.


1. J'ai trouvé que (\mathcal{T}_{n,f}(x))^{'}=\mathcal{T}_{n-1,f^{'}}(x).
Et si g(x)=f(x)-\mathcal{T}_{n,f}(x),
alors g^{(n)}(x)=f^{(n)}(x)-f^{(n)}(0)\ge{0} car f^{(n+1)}(x)\ge{0} donc f^{(n)} croissante (et aussi positive car f AM).
Ainsi de suite, on arrive à g(x)\ge{g(0)}=f(0)-f(0)=0.

2. Ici j'ai fait par récurrence comme suggéré, pas de problème particulier sur l'IPP.
Ensuite si on prend x\le{y}, on a \frac{1}{n!}\int_{0}^{1}(1-t)^nf^{(n+1)}(tx)dt\le{\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}(1-t)^nf^{(n+1)}(ty)dt} car f^{(n+1)} positive.
et donc g(x)\le{g(y)}. g est croissante.

3. Pour moi, si x=0, c'est bon car \mathcal{T}_{n,f}(0)=f(0)
Si 0<x<a, on peut encadrer g(x):
0\le{g(x)}\le{g(a)}
0\le{f(x)-\mathcal{T}_{n,f}(x)}\le{(\frac{x}{a})^{n+1}\frac{f^{(n+1)}(a)}{(n)!}\int_{0}^{1}(1-t)^{n}dt}\le{\frac{f^{(n+1)}(a)}{(n)!}\int_{0}^{1}(1-t)^{n}dt}=\frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}

Les deux termes de l'encadrement tendent vers 0 lorsque n tend vers l'infini, d'où le résultat demandé.
Mais si ma démonstration est valide, je ne comprends pas pourquoi elle ne marche pas en a et pourquoi il faut traiter ce cas à part ?

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
carpediem
re : Théorème de Bernstein sur les fonctions absolument monotone 28-03-17 à 20:13

salut

déjà pour le  1/ je ne suis pas sur ... du moins pour la première partie ...

ensuite

Citation :
2. Ici j'ai fait par récurrence comme suggéré, pas de problème particulier sur l'IPP.
Ensuite si on prend x\le{y}, on a \frac{1}{n!}\int_{0}^{1}(1-t)^nf^{(n+1)}(tx)dt\le{\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}(1-t)^nf^{(n+1)}(ty)dt} car f^{(n+1)} positive.
et donc g(x)\le{g(y)}. g est croissante.
je ne vois pas en quoi le fait que f^(n + 1) soit positive te permet décrire l'inégalité

pourquoi n'aurait-on pas 0 =< f^(n + 1)(ty) =< f^(n + 1)(tx) ?

Posté par
etniopal
re : Théorème de Bernstein sur les fonctions absolument monotone 28-03-17 à 20:43

Chaque  f(n) étant  croissante ,  pas besoin d'invoquer la positivité de qui que ce soit pour montrer que   les  x    \frac{1}{n!}\int_{0}^{1}(1-t)^nf^{(n+1)}(tx)dt     sont croissantes . croissante s.

Posté par
Serphone
re : Théorème de Bernstein sur les fonctions absolument monotone 28-03-17 à 23:24

Merci pour vos réponses,

@carpediem:
Pour la première partie du 1/:
(\mathcal{T}_{n,f}(x))^{'}=\sum_{k=1}^{n}\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}f^{(k)}(0)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{x^{k}}{(k)!}f^{'}^{(k)}(0)=\mathcal{T}_{n-1,f'}(x)

Pour la 2, autant pour moi, comme l'a dit etniopal, le bon argument est la croissance des f^{(n)}.

Et pour la 3, qu'en pensez-vous ? Est-ce que ma démonstration marche ? Et pourquoi faut-il traiter le cas x=a à part ?

Posté par
carpediem
re : Théorème de Bernstein sur les fonctions absolument monotone 29-03-17 à 11:19

pour 2/ c'est exactement ce sur quoi je voulais pointer effectivement ...

pour 3/ je ne vois pas (encore) pourquoi exclure a ... mis à part le fait que :

si x < a alors x/a < 1 donc (x/a)^n --> 0 quand n --> +oo

pour x = a alors x/a = 1

mais ce que tu écris ne nécessite pas de faire la distinction ... donc je ne vois pas ...

à moins que (toujours avec ce qui précède) :

en écrivant f(a) - T(a) = a^{n + 1}/n! ... et il faut justifier que ça tend vers 0 ...

Posté par
carpediem
re : Théorème de Bernstein sur les fonctions absolument monotone 29-03-17 à 11:20

car en gros tu utilise un théorème de convergence dominée implicitement pour montrer la convergence normale ...

Posté par
Serphone
re : Théorème de Bernstein sur les fonctions absolument monotone 30-03-17 à 11:46

Ok, je ne vois pas non plus, je vais pas pousser plus loin alors

Merci pour tes réponses !

Posté par
carpediem
re : Théorème de Bernstein sur les fonctions absolument monotone 30-03-17 à 12:45

de rien ... et tiens nous au courant ...

Posté par
Serphone
re : Théorème de Bernstein sur les fonctions absolument monotone 09-10-19 à 12:50

Bonjour,

Je me permets de ressortir ce sujet que j'avais lancé il y a deux ans car je me suis replongé dedans et la dernière question me pose toujours problème. J'ai l'impression que ma réponse n'était pas correcte.

Si je reprends donc la question 3:
Si x = 0, on a bien T_{n,f}(0)=f(0)
Si 0 < x < a, on a 0\leq g(x)\leq g(a) mais c'est là que j'ai l'impression que l'encadrement que j'avais obtenu n'est pas bon, à savoir:
0 \leq f(x) - T_{n,f}(x) \leq \left(\frac{x}{a} \right)^{n+1} \frac{f^{(n+1)}(a)}{n!}\int_{0}^{1}{(1-t)^n dt} \leq \frac{f^{(n+1)}(a)}{n!}\int_{0}^{1}{(1-t)^n dt} = \frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}
car on ne sait pas comment se comporte la terme de droite, surtout f^{(n+1)}(a) en +.

Par contre, je peux dire que:
0 \leq f(x) - T_{n,f}(x) = \left(\frac{x}{a}\right)^{n+1} (f(a)-T_{n,f}(a)) \leq \left(\frac{x}{a}\right)^{n+1} f(a)
Et là le terme de droite tend bien vers 0 en + car x < a.

Seulement, il reste à démontrer aussi le résultat en a. Et c'est là que je ne sais pas trop.
J'obtiens l'encadrement suivant:
0 \leq f(a) - T_{n,f}(a) = \frac{a^{n+1}}{n!} \int_{0}^{1}{(1-t)^n f^{(n+1)}(at)dt} \leq f^{(n+1)}(a) \frac{a^{n+1}}{(n+1)!}
Mais il faudrait que j'arrive à me débarrasser de f^{(n+1)}(a), et je n'y arrive pas.

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
luzak
re : Théorème de Bernstein sur les fonctions absolument monotone 09-10-19 à 13:33

Bonjour !
Soit r_n(x)=f(x)-T_{n,f}(x)
\dfrac{r_{n-1}(x)}{(x-a)^n}=\dfrac1{(n-1)!}\int_0^1(1-t)^{n-1}f^{(n)}(a+t(x-a))\mathrm{d}t qu'on prolonge en a par \dfrac1{n!}f^{(n)}(a)
Alors x\mapsto \dfrac{r_{n-1}(x)}{(x-a)^n} est croissante sur I.

Soit b>a,\,b\in I.
Alors,  0<x<b\implies 0\leq\dfrac{r_{n-1}(x)}{(x-a)^n}\leq\dfrac{r_{n-1}(b)}{(b-a)^n} donc
a\leq x<b\implies0\leq r_{n-1}(x)\leq\Bigl(\dfrac{x-a}{b-a}\Bigr)^nr_{n-1}(b)

On en déduit que n\mapsto r_n(b)=r_{n-1}(b)-\dfrac{(b-a)^n}{n!}f^{(n-1)}(a) est décroissante minorée par 0 et il en résulte que pour a\leq x<\sup I f(x) est somme de sa série de Taylor en a.

On peut même établir que la somme de la série de Taylor en a est la restriction de f au plus grand intervalle de centre a contenu dans I.

Posté par
Serphone
re : Théorème de Bernstein sur les fonctions absolument monotone 09-10-19 à 20:16

Bonsoir,

Tout d'abord, merci pour votre réponse.
Je ne suis pas sûr de bien comprendre par contre.

Déjà, j'ai l'impression que le polynôme de Taylor que vous utilisez est centré en a, alors que dans l'énoncé de l'exercice ce n'est pas le cas. J'ai un peu du mal à comprendre la démonstration du coup.

Et ensuite, je n'ai pas non plus l'impression que cela fonctionne pour une borne de I ? (dans l'énoncé a représente la borne sup: I = [0, a]).

Posté par
luzak
re : Théorème de Bernstein sur les fonctions absolument monotone 09-10-19 à 23:23

Oui tu as raison, j'avais mal lu ton énoncé !
Je vais revoir ma démonstration !

Posté par
Serphone
re : Théorème de Bernstein sur les fonctions absolument monotone 14-10-19 à 15:23

Bonjour luzak,

Avez-vous une autre piste pour la démonstration du résultat en a ?

Merci par avance.

Posté par
luzak
re : Théorème de Bernstein sur les fonctions absolument monotone 14-10-19 à 17:09

Non et j'ai des doutes sur la possibilité d'en trouver une !
En effet, dans la littérature l'analycité des fonctions monotones se montre sur l'intervalle privé de sa borne supérieure en général. Il est vrai qu'on prend toujours la série de Taylor en un point intérieur !

Je n'ai pas trouvé non plus de contre-exemple !

Posté par
Serphone
re : Théorème de Bernstein sur les fonctions absolument monotone 14-10-19 à 17:47

D'accord, merci d'avoir pris le temps de chercher !



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