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Théorème de Bézout

Posté par
damo
03-03-11 à 20:54

Bonsoir, j'ai un souci avec l'égalité de Bézout:

1/ Dans un livre de Term S spé, en voici l'énoncé:

"Théorème:
Soit a et b deux entiers relatifs non simultanément nuls.
a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe un couple(u; v) d'entiers relatifs tel que
au + bv=1 "

et dans ce cours , on a ce théorème dont la preuve de l'existence du couple(u,v) est fournie par l'algo d'Euclide étendu :

"Théorème : soit a et b deux entiers relatifs non nuls, et d un entier naturel non nul.
Si d = PGCD(a,b) alors il existe un couple (u;v) d'entiers relatifs tel que d=au+bv. "

2/ D'un autre côté, dans un livre de DEUG, voici l'énoncé :

"Th: Si a et b sont des entiers positifs, alors il existe des entiers u et v tels que pgcd (a,b)=au+bv

Posté par
verdurin
re : Théorème de Bézout 03-03-11 à 21:18

Bonsoir,
quel est ton souci ?

Citation :
soit a et b deux entiers relatifs non nuls, et d un entier naturel non nul.
Si d = PGCD(a,b) alors il existe un couple (u;v) d'entiers relatifs tel que d=au+bv.

et
Citation :
Si a et b sont des entiers positifs, alors il existe des entiers u et v tels que pgcd (a,b)=au+bv

disent la même chose, hormis l'oubli de strictement positifs dans la deuxième citation.

Posté par
lucas951
re : Théorème de Bézout 03-03-11 à 22:16

Bonjour,

Personnellement je ne vois aucun soucis... Dans le premier livre, on présente le théorème puis le corollaire, et dans le deuxième livre, on présente juste le corollaire, mais qui est valable pour toute valeur du PGCD.

Posté par
plumemeteore
re : Théorème de Bézout 03-03-11 à 23:45

Bonsoir.
Y a-t-il une 'formule de Bézout', qui, les nombres a, b et s étant donnés, permettrait de calculer des v tels que s - a*v soit divisible par b ? Cela permettrait de résoudre beaucoup de problèmes pratiques.

Posté par
damo
re : Théorème de Bézout 04-03-11 à 11:13

Bonjour, j'en ai trop dit et cela vous a perdu, je m'en excuse:
Dans le livre de TS il y a cet énoncé:
"Théorème:
Soit a et b deux entiers relatifs non simultanément nuls.
a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe un couple(u; v) d'entiers relatifs tel que
au + bv=1 "


et ds celui de DEUG:
"Th: Si a et b sont des entiers positifs, alors il existe des entiers u et v tels que pgcd (a,b)=au+bv"
Voilà, certes il y a équivalence mais je veux savoir "l'énoncé officiel" même si en voyant un Terracher TS, je viens de découvrir le plus pertinent à mon avis:


"Th: Soit a et b deux entiers relatifs non nuls et D leur PGCD.
Il existe deux entiers relatifs u et v tels que au+bv= D
(c'est l'égalité de Bézout) "

Voilà je vais opter pour celui ci et comme conséquences on aura :

"a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs u et v tels que : au + bv=1"

Voilà merci beaucoup

Posté par
lucas951
re : Théorème de Bézout 04-03-11 à 18:38

Le premier est plutôt un corollaire du deuxième, mais à part ça...

Posté par
plumemeteore
re : Théorème de Bézout 05-03-11 à 12:22

Bonjour.
Une démonstration de ce théorème.
Soient a positif et b deux nombres premiers entre eux.
Si n parcourt les nombres entiers de 0 à a-1, b*n modulo a prend toutes les valeurs entières entre 0 à a-1.
En effet, supposons qu'il ne prenne pas une de ces valeurs; il prend forcément deux fois une autre des valeurs, soit r.
On aurait alors deux nombres n et n' inférieurs à a tels que bn'-bn soit divisible par a. Or b n'ayant aucun facteur commun avec a, n-n' doit contenir tous les facteurs de a et donc être divisible par a; ce qui est impossible puisque |n-n'| est inférieur à a.

Adaptation selon le signe de a; soient a' et b' les opposés respectifs de a et de b.
a  positif
au+bv = 1 équivaut à au-1 = b'v : il existe un v inférieur à a tel que b'v = a-1 modulo a
a négatif
au+bv = 1 équivaut à a'u-1 = b'v : il existe un v inférieur à a tel que b'v = a'-1 modulo a'.

Réciproque :
S'il existe des nombres u et v tels que au+bv = 1, a et b sont premiers entre eux. Évidemment puisque s'ils avaient un diviseur commun d, on pourrait poser a = dq et b = dq' et la somme serait dqu+dq'v = d(qu+q'v) et serait divisible par d.

Soient deux nombres a et b et g leur pgcd
a/g et b/g sont premiers entre eux.
Donc il existe des nombres u et v tels que ua/g et vb/g = 1 et amenant au+bv = g. Le v le plus petit est à rechercher entre 0 et a/g - 1.

Le mérite de Bézout est d'avoir donné à ce théorème simple des développements élaborés (voir Wikipédia). Dommage qu'il n'ait pas donné de formules pour trouver u et v sans tâtonnements.

Posté par
damo
re : Théorème de Bézout 05-03-11 à 13:41

Bonsoir, merci beaucoup mais vous démontrer lequel au juste?

Sinon pour prouver l'existence et trouver les coeff u et v de la relation de Bézout, on a  : l'algorithme d'Euclide étendu

Posté par
frenicle
re : Théorème de Bézout 05-03-11 à 16:59

Bonjour,

Il y a un théorème d'Euler qui dit que si a et b sont premiers entre eux,

a(b) 1 mod b,

(b) est l'"indicateur d'Euler", c'est-à-dire le nombre d'entiers premiers avec b et compris entre 1 et b.

C'est une généralisation du petit théorème de Fermat, car (p) = p - 1 si p est premier.

On en déduit que aa(b)-1 1 mod b

Par conséquent

aa(b)-1 - b(a(b) - 1)/b = 1

Ce qui donne dans l'égalité de Bézout au - bv = 1 les formules "explicites" :

u = a(b)-1 et v = (a(b) - 1)/b

Pour éviter d'avoir des nombres gigantesques, on peut prendre :

u = a(b)-1 mod b et v = (a(b) - 1)/b mod a

Je doute fort cependant que ces formules aient un intérêt pratique

Posté par
david9333
re : Théorème de Bézout 07-03-11 à 22:46

bonjour!
notre prof nous a présenté les deux théorèmes, l'un sous l'appellation "Identité de Bézout", l'autre sous le nom "Théorème de Bézout" (celui avec l'équivalence)

Posté par
co11
re : Théorème de Bézout 08-03-11 à 20:02

Bonsoir,

il y a 2 théorèmes:
l'un disant: si pgcd(a;b) = d alors il existe u et v tels que au + bv = d.
(je passe sur les hypothèses de départ)
Il peut se démontrer par l'algorithme d'Euclide.

Et l'autre: pgcd(a;b) = 1  ssi il existe u et v tels que au + bv = 1.
La première partie est une conséquence du 1er théorème.
La réciproque vient du fait que a et sont premiers entre eux.
C'est plutôt bien de le prouver aussi.

Est-ce que c'est cela ta question?

Posté par
frenicle
re : Théorème de Bézout 08-03-11 à 21:54

On peut aussi énoncer une seule équivalence valable que a et b soient ou non premiers entre eux :

Pgcd(a,b) = d

  

Il existe u et v tels que au + bv = d,   d|a et d|b.

Posté par
carpediem
re : Théorème de Bézout 09-03-11 à 17:12

salut

frenicle : ne serait-ce pas plutôt :


d/a et d/b u et v tel que au + bv = d


car un (le) pgcd est un d(iviseur)...

Posté par
frenicle
re : Théorème de Bézout 09-03-11 à 19:18

Bonjour carpediem  


Ben non
Ni dans un sens ni dans l'autre :

Par exemple 3.5 + 7.4 = 43
et pourtant 43 ne divise ni 3 ni 7 (ni 5 ni 4 non plus d'ailleurs)

Dans l'autre sens

1|2 et 1|4 et pourtant 2u + 4v = 1 n'a pas de solution entière.

Posté par
carpediem
re : Théorème de Bézout 09-03-11 à 22:58

quel c... je suis oui

j'ai répondu vraiment vite....

Posté par
Porcepic
re : Théorème de Bézout 10-03-11 à 15:56

Bonjour,

Et tant qu'on y est, c'est Bezout ou Bézout ?

Posté par
frenicle
re : Théorème de Bézout 10-03-11 à 16:25

Citation :
Et tant qu'on y est, c'est Bezout ou Bézout ?


Arghhh !! Non, pas ça...

Je crois bien qu'Etienne Bzout lui-même ne savait pas s'il y avait un accent à son nom  

Posté par
lolo271
re : Théorème de Bézout 18-03-11 à 16:40

Je rappelle que tout ça c'est le théorème de BACHET , merci pour lui !



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