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Théorème de Césaro
Bonsoir,
J'aurais besoin d'aide pour la résolution du 1.
Je comptais exploiter le fait que c'est un o(a_n) ce qui se traduit par :
u_n / a_n -> 0 en + inf.
Je ne sais pas quoi faire dautre ?
Auriez vous des conseils pour mieux aborder ce style d'exo et réussir à les résoudre.
Bonne soirée ,
Exercice 6 : Théorème de Cesàro.
On considère une suite (u_n) à valeurs dans C.
1) Supposons qu'il existe une suite (a_n) de nombres réels positifs telle que .
Montrer que si la série est convergente alors
est convergente et
.
2) Avec les mêmes hypothèses, montrer que si la série est divergente alors
.
3) En déduire le théorème de Cesàro : si (u_n) est une suite convergente de limite ,
alors la suite est convergente de limite
.
Bonsoir,
pour 1), montre que la série de terme général un est absolument convergente.
J'en profite : au passage, ta traduction de petit o n'est pas correcte en générale. Ici, si "suite de nombres réels positifs" se traduit par "suite de nombres réels strictement positifs", c'est bon, la traduction est bonne. Sinon, s'il existe une infinité de termes an s'annulant, ton quotient (et donc ta limite) un/an n'est pas bien défini. Mais l'idée de la limite est ce qu'il faut garder en tête. Pour avoir la définition la plus générale, on formalise avec la version epsilonesque.
En général, dire que veut dire que
.
Donc si la suite (vn) est une suite de réels strictement positifs, la définition ci-dessus implique bien que la suite quotient (un/vn) tend vers 0 et inversement 
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