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Théorème de céva

Posté par
Mathsroot
04-12-18 à 19:35

Salut !!
Voilà j'ai un exercice que je comprends pas. Veuillez s'il vous plait m'aider.
NB: les mesures algébriques sont en gras.
Le voilà :

Soit ABC un triangle, A',B' et C' des points appartenant respectivement aux droites (BC),(CA)et(AB), distincts des sommets A,B et C.
1- On suppose que les droites (AA'),(BB')et (CC') sont concourantes en un point G.
a)Démontrer qu'il existe trois nombres a,b et c tels que G soit le barycentre des points pondérés (A,a),(B,b) et (C,c).
b)En appliquant le théorème des barycentres partiels aux points A',B' et C', démontrer la relation de Ceva: ((A'B/A'C)*(B'C/B'A)*(C'A/C'B)=-1.
2.Réciproquement, on suppose que les points A',B' et C' vérifient la relation précédente et que les droites (AA'),(BB') et (CC') sont concourantes.

Posté par
Priam
re : Théorème de céva 05-12-18 à 09:55

Tu pourrais consulter sur l'Ile (ou par Google) le sujet n° 290934 du 21-08-09 " Démonstration Céva (barycentres) ".

Posté par
Mathsroot
re : Théorème de céva 09-12-18 à 15:56

Merci!! Mais pour la première question je ne vois pas comment démontrer l'existence de ces trois points.
Aidez moi s'il vous plaît.

Posté par
Priam
re : Théorème de céva 09-12-18 à 18:42

2. Tu pourrais dire que cela résulte de la définition des coordonnées barycentriques.
Si l'on a trois points A, B, C non alignés et G un point quelconque, il existe un triplet a, b, c (avec a + b + c 0) tel que le point G est le barycentre des points pondérés  (A,a), (B,b) , (C,c).

Posté par
Mathsroot
re : Théorème de céva 09-12-18 à 19:32

Merci!!
Je reprend la 2 ème question je l'ai pas bien écrite :
2.Réciproquement, on suppose que les points A',B' et C' vérifient la relation précédente et que les droites (AA') et (BB') sont sécantes en un point K.
Démontrer que les droites (AA'),(BB')  et (CC') sont concourantes.

Posté par
Mathsroot
re : Théorème de céva 09-12-18 à 20:20

Aidez moi s'il vous plaît

Posté par
Priam
re : Théorème de céva 09-12-18 à 21:49

2. Le principe de démonstration consiste à supposer que AB coupe CG en un point C" distinct de C'. On peut alors écrire la relation de Céva pour les points ABC A'B'C".
En rapprochant les deux relations de Céva, on obtient  BC"/AC , égalité d'où on déduit que les point C' et C" sont confondus et que les droites AA', BB' et CC' sont concourantes.

Posté par
Mathsroot
re : Théorème de céva 18-12-18 à 17:38

Merci beaucoup

Posté par
Priam
re : Théorème de céva 18-12-18 à 18:23



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