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Théorème de convergence dominée

Posté par
coa347
13-06-19 à 23:48

Bonjour,
Je m'étonne que le théorème de convergence dominée ait besoin de la puissante théorie de l'intégrale de Lebesgue.
A votre avis, ce théorème serait-il démontrable dans un espace usuel (R ou C) sans cette théorie ?
Merci d'avance.

Posté par
jsvdb
re : Théorème de convergence dominée 14-06-19 à 00:00

Bonsoir coa347.
Le TCD est le couronnement de la théorie de Lebesgue, son fils spirituel. Il est fait pour, par et dans cette théorie. Il en est le joyau et la quintessence ... L'espace mesuré est son milieu naturel où il règne en maître.
Bref, sans cette théorie, il n'existe pas !

Posté par
LeHibou
re : Théorème de convergence dominée 14-06-19 à 00:24

Bonsoir,

On peut tout de même dire des choses sur le théorème de convergence dominée dans le cas de l'intégrale de Riemann, voir ici :

Posté par
coa347
re : Théorème de convergence dominée 14-06-19 à 10:31

Bonjour,

Merci jsvdb pour ta réponse. Mais il me semble qu'il faut nuancer par rapport "sans cette théorie, il n'existe pas".
De ce que je connais, par rapport à l'intégrale de Riemann sur les espaces usuels R et C, l'intégrale de Lebesgue permet principalement de s'affranchir de l'intervalle fermé borné. Autrement dit, sur un intervalle fermé borné, il me semble que le théorème de convergence dominée serait (facilement) démontrable.

LeHibou Merci infiniment, c'est exactement ce que je cherchais !

Posté par
coa347
re : Théorème de convergence dominée 14-06-19 à 10:52

A lire rapidement les documents, le "facilement" ne s'appliquerait qu'à une fonction continue par morceaux sur un intervalle fermé borné. C'est ce que je voulais savoir.

Posté par
jsvdb
re : Théorème de convergence dominée 14-06-19 à 13:08

Dans la mesure ( c'est le cas de le dire ) où Lebesgue englobe Riemann, je ne saisis pas bien en quoi cela répond à ta question 🤔

Posté par
coa347
re : Théorème de convergence dominée 14-06-19 à 14:51

Je me demandais pourquoi le théorème de convergence dominée est admis en L2/MP (je ne l'ai vu démontré qu'en L3 avec l'intégrale de Lebesgue), donc s'il était impossible de le démontrer avec l'intégrale de Riemann pour les cas simples de fonctions continues par morceaux. En gros, pourquoi faut-il attendre la L3 pour démontrer ce théorème ?

Ceci d'autant plus qu'il y a une ressemblance (dans les hypothèses et dans les conclusions) entre les théorèmes qui utilisent la convergence uniforme (vus en L2) et le théorème de convergence dominée et ses corollaires.  

Posté par
lionel52
re : Théorème de convergence dominée 14-06-19 à 15:17

Je pense mais je peux me tromper que la démonstration sous "Riemann" est une curiosité intellectuelle plutôt qu'autre chose et n'a pas d'intérêt puisqu'au fond l'intégrale de Riemann devient vite désuète face à celle de Lebesgue

Autant avoir le résultat pour les fonctions simples intégrables sous Riemann sans passer du temps à faire une démonstration longue compliquée en L2/MP qui n'a d'intérêt que pour le théorème de convergence dominée alors qu'il y a toute une théorie de la mesure derrière vu l'année d'après.

Posté par
Zrun
re : Théorème de convergence dominée 14-06-19 à 15:44

Je signale que certains profs font la démonstration du TCD en MP ...
Ce n'est pas parce qu'on démonte le TCD sans les intégrales de Lebesgue, que la démonstration n'est pas intéressante... en effet, une preuve en quelques lignes n'est rarement instructive !
Il est par exemple possible de démontrer le théorème de d'Alembert Gauss avec des outils de L1/MPSI et de le démontrer en 3 lignes avec les fonctions holomorphes ... pourtant la première preuve n'est pas inintéressante

Posté par
coa347
re : Théorème de convergence dominée 14-06-19 à 18:02

Cela a un côté rassurant de savoir qu'on peut démontrer un résultat, sans une puissante théorie derrière.  Cela peut expliquer le côté historique.  De savoir que c'est possible, presque cela me suffit.

C'est comme les idéaux en arithmétique.  De savoir qu'on peut démontrer tous les résultats (pgcd, ppcm...) a un côté rassurant : on peut se passer des idéaux, et historiquement,  on s'en est passé. Cela explique l'histoire.

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