Bonsoir coa347.
Le TCD est le couronnement de la théorie de Lebesgue, son fils spirituel. Il est fait pour, par et dans cette théorie. Il en est le joyau et la quintessence ... L'espace mesuré est son milieu naturel où il règne en maître.
Bref, sans cette théorie, il n'existe pas !

Bonsoir,

On peut tout de même dire des choses sur le théorème de convergence dominée dans le cas de l'intégrale de Riemann, voir ici :

Bonjour,

Merci jsvdb pour ta réponse. Mais il me semble qu'il faut nuancer par rapport "sans cette théorie, il n'existe pas".
De ce que je connais, par rapport à l'intégrale de Riemann sur les espaces usuels R et C, l'intégrale de Lebesgue permet principalement de s'affranchir de l'intervalle fermé borné. Autrement dit, sur un intervalle fermé borné, il me semble que le théorème de convergence dominée serait (facilement) démontrable.

LeHibou Merci infiniment, c'est exactement ce que je cherchais !

A lire rapidement les documents, le "facilement" ne s'appliquerait qu'à une fonction continue par morceaux sur un intervalle fermé borné. C'est ce que je voulais savoir.

Dans la mesure ( c'est le cas de le dire ) où Lebesgue englobe Riemann, je ne saisis pas bien en quoi cela répond à ta question 🤔

Je me demandais pourquoi le théorème de convergence dominée est admis en L2/MP (je ne l'ai vu démontré qu'en L3 avec l'intégrale de Lebesgue), donc s'il était impossible de le démontrer avec l'intégrale de Riemann pour les cas simples de fonctions continues par morceaux. En gros, pourquoi faut-il attendre la L3 pour démontrer ce théorème ?

Ceci d'autant plus qu'il y a une ressemblance (dans les hypothèses et dans les conclusions) entre les théorèmes qui utilisent la convergence uniforme (vus en L2) et le théorème de convergence dominée et ses corollaires.  

Je pense mais je peux me tromper que la démonstration sous "Riemann" est une curiosité intellectuelle plutôt qu'autre chose et n'a pas d'intérêt puisqu'au fond l'intégrale de Riemann devient vite désuète face à celle de Lebesgue

Autant avoir le résultat pour les fonctions simples intégrables sous Riemann sans passer du temps à faire une démonstration longue compliquée en L2/MP qui n'a d'intérêt que pour le théorème de convergence dominée alors qu'il y a toute une théorie de la mesure derrière vu l'année d'après.

Je signale que certains profs font la démonstration du TCD en MP ...
Ce n'est pas parce qu'on démonte le TCD sans les intégrales de Lebesgue, que la démonstration n'est pas intéressante... en effet, une preuve en quelques lignes n'est rarement instructive !
Il est par exemple possible de démontrer le théorème de d'Alembert Gauss avec des outils de L1/MPSI et de le démontrer en 3 lignes avec les fonctions holomorphes ... pourtant la première preuve n'est pas inintéressante

Cela a un côté rassurant de savoir qu'on peut démontrer un résultat, sans une puissante théorie derrière.  Cela peut expliquer le côté historique.  De savoir que c'est possible, presque cela me suffit.

C'est comme les idéaux en arithmétique.  De savoir qu'on peut démontrer tous les résultats (pgcd, ppcm...) a un côté rassurant : on peut se passer des idéaux, et historiquement,  on s'en est passé. Cela explique l'histoire.