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Niveau Licence Maths 1e ann
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Théorème de Dirichlet

Posté par
toureissa
29-06-18 à 09:15

Bonjour,

J'ai du mal avec cet exercice  et j'ai besoin de votre aide.

Soit x un nombre  réel.

1. Soit N un entier quelconque  supérieur  où égale à  2.
Démontrer  qu'il existe des entiers relatifs p et q,  avec 1=<q=<N tels que   |qx-p|\leq \frac{1}{N}.
Pour cela on considéras les nombres réels  x_k=kx-[kx], pour k\in [0,N]  
et on appliquera  le principe  des tiroirs.

2. On suppose  que x est irrationnelle.  Montrer qu'il existe une infinité de nombres rationnels
\frac{p}{q} avec p \in \Z et q \in \N^* tels que  |x-\frac{p}{q}|\leq \frac{1}{q^2}.

3. Montrer que le résultat  de la question 2)  tombe en défaut  si x est rationnel  .

Posté par
jsvdb
re : Théorème de Dirichlet 29-06-18 à 11:38

Bonjour toureissa.

1. Est la démonstration originelle qu'a faite Dirichlet.

On pose I_k =[\frac{k}{N};~\frac{k+1}{N}[ pour 0 \leq k \leq N-1. Cela donne donc un découpage de l'intervalle [0;1[ en N intervalles.

On a considéré les nombres x_k = kx - E(kx) pour 0\leq k\leq N. Cela nous donne donc N + 1 nombres de l'intervalle [0;1[.

Que dit le principe des tiroirs ?
Qu'il existe deux indices i_N et j_N avec i_N < j_N et un entier k_N tels que x_{i_N},x_{j_N}\in I_{k_N}.

On pose alors q=q(N) = j_N - i_N>0 et p=p(N) = E(i_Nx)-E(j_Nx)

Tu vérifieras que |x_{j_N} - x_{i_N}| = |qx+p| < \frac{1}{N} \leq \frac{1}{q} et donc 1 \leq q \leq N.

- Si x est rationnel alors c'est quasi évident.
- Si x est irrationnel, il faut passer par le fait que si une suite \frac{a_n}{b_n} de rationnels (qu'on peut supposer irréductibles, mais c'est pas nécessaire) tends vers x alors la suite b_n tend vers l'infini.

Cette dernière distinction sert fondamentalement à résoudre la question 2.

Quant à la 3. il suffit de prendre x = 0 et poser qu'il existe une suite de rationnels (strictement positifs) qui tend vers 0, telle que p_n/q_n \leq 1/q_n^2 et conclure rapidement à une absurdité.

Posté par
toureissa
re : Théorème de Dirichlet 29-06-18 à 12:14

J'ai compris  la question  1).

2. J'ai compris  ce que tu dis,  mais je ne vois pas comment  montrer  que p/q tend vers x ?  
Doi-je faire  |qx-p|=q|x-p/q|<1/N ?

Posté par
jsvdb
re : Théorème de Dirichlet 29-06-18 à 12:44

On ne cherche pas à montrer que p/q tend vers x. On ne cherche d'ailleurs aucune convergence.
On cherche si, autour de x il y a des rationnels p/q tels que la distance p/q à x puisse être majorée par 1/q².
Si x est rationnel, ce nombre est fini (donc aucune convergence avec les nombres vérifiant la propriété ci-dessus ne peut être envisagée)
Si x est irrationnel, ce nombre est infini.
(et si on veut on pourra en tirer après une suite convergeant vers x, mais ce n'est pas l'objet de l'exercice. D'ailleurs, cet exercice s'envisage surtout en théorie de la mesure, pas en topologie, les objets étudiés étant topologiquement trop compliqués.)

Posté par
jsvdb
re : Théorème de Dirichlet 29-06-18 à 12:53

Pour mémoire:

1- quand x est irrationnel, il existe une suite de rationnels p_n/q_n telle que |x - p_n/q_n| \leq \dfrac{1}{\sqrt 5 .q_n^2}, la constante \dfrac{1}{\sqrt 5} étant optimale dans le sens où tout irrationnel vérifie cette inégalité, mais il existe des irrationnels qui ne vérifient pas mieux et d'autres qui vérifient mieux.

2-  on appelle mesure d'irrationalité d'un réel x, la borne supérieure \mu(x) de l'ensemble des réels \alpha pour lesquels il existe une infinité de couples (p, q) d'entiers tels que q > 0 et 0 < |x - p/q| < 1/q^\alpha.

L'exercice montre que la mesure d'irrationalité d'un rationnel est 1 et celle de tout irrationnel est au moins 2.

Posté par
jsvdb
re : Théorème de Dirichlet 29-06-18 à 13:12

3- On appelle nombre de Liouville, un irrationnel dont la mesure d'irrationalité est infinie.
C'est forcément un nombre transcendant puisqu'un nombre algébrique a une mesure d'irrationalité exactement égale à 2 (Théorème de Roth (1955), plus précis que celui de Liouville qui affirmait qu'un algébrique a une mesure inférieure à son degré d'algébricité)

4- On peut obtenir la constante d'irrationalité de certains transcendants en trouvant leur développement en fraction continues.

5- Presque tout irrationnel est de mesure d'irrationalité 2. Donc les transcendants de mesure d'irrationalité > 2 sont de mesure nulle.

6- e=2, 7182818284 \cdots est de mesure 2 ... décevant, n'est-ce-pas ? et celle de \pi est plus petite que 8. Finalement \pi n'est pas le "super irrationnel transcendant" que l'on attendait .... décevant également.

7- Enfin, Paul Erdos a démontré que tout nombre réel peut s'écrire comme somme et comme produit de deux nombres de Liouville. (malgré qu'il n'y en n'ait "pas beaucoup" au sens de la mesure)

Bref, \R est vraiment très compliqué.

Posté par
toureissa
re : Théorème de Dirichlet 29-06-18 à 13:32

|qx-p|<1/q, donc |x-p/q|<1/q^2.

Puis-je  conclure  directement  où il ya  une démonstration  à  faire ?

Je suis un peu perdu.

Posté par
toureissa
re : Théorème de Dirichlet 29-06-18 à 13:33

jsvdb , je dois dormir  un peu si non pas ne serait  pas bon pour ma tête.

Posté par
toureissa
re : Théorème de Dirichlet 29-06-18 à 20:22

2) ça n'a va pas.  J'ai compris  , mais je n'ai pas une idée  de la démonstration.

3) x=0 |pn|=<1/q^2, donc pn=0 et donc il n'y a pas d'infinité  de p et q.

Posté par
toureissa
re : Théorème de Dirichlet 30-06-18 à 23:03

Bonsoir  jsvdb,

Voici ce que je fais à  nouveau :

|x-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^2}\Leftrightarrow x-\frac{1}{q^2}<\frac{p}{q}<x+\frac{1}{q^2}

donc

\frac{p}{q}\in ]x-\frac{1}{q^2}; x+\frac{1}{q^2}[

Comme les bornes de l'intervalle  sont irrationnels alors on peut dire qu'il existe  une infinité  de rationnels  p/q dans l'intervalle ?

Posté par
jsvdb
re : Théorème de Dirichlet 01-07-18 à 01:35

toureissa @ 30-06-2018 à 23:03

Comme les bornes de l'intervalle  sont irrationnels alors on peut dire qu'il existe  une infinité  de rationnels  p/q dans l'intervalle ?

Ça ne veut pas dire grand chose

Il suffit d'utiliser la première question :

Pour tout N > 0, il existe deux entiers p et q tels que 1 \leq q \leq N tels que |qx-p|\leq 1/N \leq 1/q.

Autrement dit, on est capable, à tout entier n>0 d'associer un rationnel p_n/q_n qui vérifie \left| x - \frac{p_n}{q_n}\right|\leq \frac{1}{nq_n} \leq \frac{1}{q_n^2}.

Il suffit alors de vérifier que q_n prend une infinité de valeurs distinctes et c'est fini car x est irrationnel ( et donc pour tout n, x \neq \frac{p_n}{q_n})

Ce raisonnement tombe en défaut si x est rationnel puique x peut s'écrire a/b et si p/q est tel que a/b \neq p/q alors \left|\frac{a}{b}-\frac{p}{q}\right| \geq \frac{1}{bq} et cette différence ne peut être en 1/q^2.

Autrement dit, pour un rationnel, la seule façon d'avoir \left|\frac{a}{b}-\frac{p}{q}\right| \leq \frac{\alpha}{q^2} pour un certain \alpha > 0 c'est de prendre p=q = nb pour un certain n > 0.

Posté par
toureissa
re : Théorème de Dirichlet 01-07-18 à 08:01

Je pense  que j'ais compris ,

1=<q=<N

Il t'a une infinité  de valeurs de N donc de q.

Posté par
toureissa
re : Théorème de Dirichlet 01-07-18 à 08:07

jsvdb @ 01-07-2018 à 01:35



Ce raisonnement tombe en défaut si x est rationnel puique x peut s'écrire a/b et si p/q est tel que a/b \neq p/q alors \left|\frac{a}{b}-\frac{p}{q}\right| \geq \frac{1}{bq} et cette différence ne peut être en 1/q^2.

Autrement dit, pour un rationnel, la seule façon d'avoir \left|\frac{a}{b}-\frac{p}{q}\right| \leq \frac{\alpha}{q^2} pour un certain \alpha > 0 c'est de prendre p=q = nb pour un certain n > 0.


Merci beaucoup  j'ai bien compris !

Bonne  journée !



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