Bonjour,
J'ai du mal avec cet exercice et j'ai besoin de votre aide.
Soit x un nombre réel.
1. Soit N un entier quelconque supérieur où égale à 2.
Démontrer qu'il existe des entiers relatifs p et q, avec 1=<q=<N tels que .
Pour cela on considéras les nombres réels , pour
et on appliquera le principe des tiroirs.
2. On suppose que x est irrationnelle. Montrer qu'il existe une infinité de nombres rationnels
avec et tels que .
3. Montrer que le résultat de la question 2) tombe en défaut si x est rationnel .
Bonjour toureissa.
1. Est la démonstration originelle qu'a faite Dirichlet.
On pose pour . Cela donne donc un découpage de l'intervalle [0;1[ en N intervalles.
On a considéré les nombres pour . Cela nous donne donc N + 1 nombres de l'intervalle [0;1[.
Que dit le principe des tiroirs ?
Qu'il existe deux indices et avec et un entier tels que .
On pose alors et
Tu vérifieras que et donc .
- Si x est rationnel alors c'est quasi évident.
- Si x est irrationnel, il faut passer par le fait que si une suite de rationnels (qu'on peut supposer irréductibles, mais c'est pas nécessaire) tends vers x alors la suite tend vers l'infini.
Cette dernière distinction sert fondamentalement à résoudre la question 2.
Quant à la 3. il suffit de prendre x = 0 et poser qu'il existe une suite de rationnels (strictement positifs) qui tend vers 0, telle que et conclure rapidement à une absurdité.
J'ai compris la question 1).
2. J'ai compris ce que tu dis, mais je ne vois pas comment montrer que p/q tend vers x ?
Doi-je faire |qx-p|=q|x-p/q|<1/N ?
On ne cherche pas à montrer que p/q tend vers x. On ne cherche d'ailleurs aucune convergence.
On cherche si, autour de x il y a des rationnels p/q tels que la distance p/q à x puisse être majorée par 1/q².
Si x est rationnel, ce nombre est fini (donc aucune convergence avec les nombres vérifiant la propriété ci-dessus ne peut être envisagée)
Si x est irrationnel, ce nombre est infini.
(et si on veut on pourra en tirer après une suite convergeant vers x, mais ce n'est pas l'objet de l'exercice. D'ailleurs, cet exercice s'envisage surtout en théorie de la mesure, pas en topologie, les objets étudiés étant topologiquement trop compliqués.)
Pour mémoire:
1- quand x est irrationnel, il existe une suite de rationnels telle que , la constante étant optimale dans le sens où tout irrationnel vérifie cette inégalité, mais il existe des irrationnels qui ne vérifient pas mieux et d'autres qui vérifient mieux.
2- on appelle mesure d'irrationalité d'un réel x, la borne supérieure de l'ensemble des réels pour lesquels il existe une infinité de couples (p, q) d'entiers tels que q > 0 et .
L'exercice montre que la mesure d'irrationalité d'un rationnel est 1 et celle de tout irrationnel est au moins 2.
3- On appelle nombre de Liouville, un irrationnel dont la mesure d'irrationalité est infinie.
C'est forcément un nombre transcendant puisqu'un nombre algébrique a une mesure d'irrationalité exactement égale à 2 (Théorème de Roth (1955), plus précis que celui de Liouville qui affirmait qu'un algébrique a une mesure inférieure à son degré d'algébricité)
4- On peut obtenir la constante d'irrationalité de certains transcendants en trouvant leur développement en fraction continues.
5- Presque tout irrationnel est de mesure d'irrationalité 2. Donc les transcendants de mesure d'irrationalité > 2 sont de mesure nulle.
6- est de mesure 2 ... décevant, n'est-ce-pas ? et celle de est plus petite que 8. Finalement n'est pas le "super irrationnel transcendant" que l'on attendait .... décevant également.
7- Enfin, Paul Erdos a démontré que tout nombre réel peut s'écrire comme somme et comme produit de deux nombres de Liouville. (malgré qu'il n'y en n'ait "pas beaucoup" au sens de la mesure)
Bref, est vraiment très compliqué.
|qx-p|<1/q, donc |x-p/q|<1/q^2.
Puis-je conclure directement où il ya une démonstration à faire ?
Je suis un peu perdu.
2) ça n'a va pas. J'ai compris , mais je n'ai pas une idée de la démonstration.
3) x=0 |pn|=<1/q^2, donc pn=0 et donc il n'y a pas d'infinité de p et q.
Bonsoir jsvdb,
Voici ce que je fais à nouveau :
donc
Comme les bornes de l'intervalle sont irrationnels alors on peut dire qu'il existe une infinité de rationnels p/q dans l'intervalle ?
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