_{* Modération >}   *** Bonjour *** _*

Déterminer un multiple de 2021 dont tous les chiffres en base 10 valent 1.

*** message déplacé ***

Bonjour,
Je vois que tu es nouveau, bienvenue sur l'
Mais tes messages manquent singulièrement de convivialité !
A LIRE AVANT DE POSTER OU DE RÉPONDRE, MERCI (Clique sur ce lien).
Prends le temps de lire ce sujet, en particulier ce qui a trait à tes recherches dans le point 3, et complète ta demande en restant dans le même sujet et en respectant désormais les règles du site.
Quelqu'un va te venir en aide.

Bonjour, je cherche à déterminer un multiple de 2021 dont tous les chiffres en base 10 valent 1 mais je n'y arrive pas , j'espère que quelqu'un pourra me venir en aide. Merci

Bonjour,



D'après Fermat :





Il me semble que (qui est un nombre composé de chiffres en base ), est un bon candidat.

Merci beaucoup pour votre réponse est ce que pourriez m'expliquer votre raisonnement pour en arriver à se résultat? Un grand merci

J'en ai déjà dit beaucoup.
Il va falloir que tu réfléchisses.

salut

peut-être déjà commencer par l'existence d'un tel multiple ...

Je commencerais plutôt par chercher le lien entre les entiers qui s'écrivent 111...1 en base 10 et

Bien vu lake !

on peut améliorer ton résultat

Sylvieg on chercherai enfaite un nombre telle que 10^k-1/9 serait congrue à 2021 c'est cela? Merci pour votre réponse précédente, car je reste vraiment bloqué sur cet exercice.

carpediemcarpediemcarpediem

Bonjour carpediem,

Merci elhor !

lake : oui ... parce qu'on connait !! mais quand on apprend ...

NP16 : à tout entier non nul n on peut associer un entier constitué de n chiffres 1 (pour info on parle de rep-unit ou repete-un)

quand on effectue la division de ces r_n par 2021 est-il possible de n'avoir que des restes différents ?

Bonsoir carpediem,
Il me semble que l'énoncé conseille d'utiliser le petit théorème de Fermat _{(dit-on encore "petit" ?)}.
Ta manière d'aborder l'existence l'utilise-t-il ?

Comment s'écrit l'entier 10⁴-1 en base 10 ?
Qu'est-ce que ça donne si on le divise par 9 ?
Comment généraliser pour 10^k-1 ?

Avec k entier naturel non nul,
comment s'écrit l'entier 10^k-1 en base 10 ?
Qu'est-ce que ça donne si on le divise par 9 ?

Si tu ne vois toujours pas, on peut le prendre par l'autre bout :
Si un entier N s'écrit 111...11 avec n chiffres 1 en base 10, on a
N = 1 + 10 + 10² + ... + 10^n-1 .
Tu as déjà rencontré ce genre de somme et une formule permet de la transformer.
Fais-le.

Je ne vais plus être disponible avant demain.
Cherche un peu ; si tu cales encore, la nuit porte conseil, c'est bien connu.

Bonjour,
Contente d'avoir de tes nouvelles.
Question programmation, je ne suis pas dans le coup.
D'autres pourront commenter.
Ton résultat 966 est bon

du coup si on étudie 2021 modulo 9 cela donne si 2021 ≡ 1 (mod 9), cela signifie que 2021 est un multiple de 9 et, par conséquent, tous les chiffres en base 10 d'un tel multiple seront des 1.

Reprends ton dernier message. Il ne va pas du tout.

Pour celui de 12h39, tu es censé connaître des règles sur les congruences.
En particulier sur les produits et les puissances. Ouvre ton cours.
Ta conclusion 10ⁿ 1 (mod9) se démontre en deux lignes à partir d'une de ces règles.

a^k≡b^k(mod m) ça c'est la règle donc 10^n≡1^n(mod m) et ça on peut le montrer par récurrence

Inutile de faire une récurrence. Elle a été faite en cours.
Utilise directement la formule.
Remplace m par 9 et simplifie 1ⁿ.

j'ai dit n'importe quoi à la fin du message

Pour résoudre l'équation 10^n-1 ≡ 1 (mod 9)

: 10^n-1 ≡ 1 (mod 9).
Utilisez la propriété que 10^n ≡ 1 (mod 9) pour tout entier n
En utilisant cette propriété, nous pouvons réécrire l'équation comme suit : (10^n * 10^(-1)) ≡ 1 (mod 9).
Simplifiez l'expression en utilisant les propriétés des puissances : 10^(n-1) ≡ 1 (mod 9).
Maintenant, nous avons une équation similaire à celle que nous avons résolue précédemment, où nous avons 10^(n-1) au lieu de 10^n. Ainsi, nous pouvons appliquer la même logique.
Choisissez n-1 = 0, ce qui donne n = 1.
Vérifiez la solution en substituant n = 1 dans l'équation : 10^(1-1) ≡ 1 (mod 9). Cela donne 1 ≡ 1 (mod 9), ce qui est vrai.
Ainsi, la solution de l'équation 10^n-1 ≡ 1 (mod 9) est n = 1.

pour 10^n≡1(mod9)
Écrivez l'équation : 10^n ≡ 1 (mod 9).
Utilisez la propriété que 10^n ≡ 1 (mod 9) pour tout entier n.
Par conséquent, pour résoudre cette équation,  on peut simplement choisir n = 0, car 10^0 = 1.
Vérifiez la solution en substituant n = 0 dans l'équation : 10^0 ≡ 1 (mod 9). Cela donne 1 ≡ 1 (mod 9), ce qui est vrai.
Ainsi, la solution de l'équation 10^n ≡ 1 (mod 9) est n = 0.

Cela signifie que pour tout multiple de 10^0 (c'est-à-dire 1), le résultat sera congruent à 1 modulo 9. Par exemple, 1, 11, 111, 1111, etc., sont tous congruents à 1 modulo 9.

j'ai essayé de les résoudre avec les deux mais du coup je n'ai pas vraiment l'impression d'avancer

Tu postes des choses sans vraiment les vérifier.
Exemple :
D'après ton message de 14h27, l'entier 11 serait congru à 1 modulo 9.
Depuis quand 11-1 est un multiple de 9 ?
Ne poste pas trop vite.
Je reviendrai vers 15h15. Essaye de clarifier calmement un peu tout ça d'ici là.

L'objectif :
Un multiple de 2021 qui soit égal à
Pour trouver n :
On voudrait 10ⁿ - 1 = 9(un multiple de 2021).
10ⁿ -1 est toujours un multiple de 9 car 10ⁿ 1 (mod9).
Que reste-t-il à chercher ?

un multiple de 2021 qui soit aussi multiple de 9

92021 est un multiple de 2021 qui est un multiple de 9 ; mais il ne s'écrit pas avec des 1.

Il reste à trouver n tel que 10ⁿ - 1 soit aussi un multiple de 2021.
Rappel : on sait déjà que 10ⁿ - 1 est un multiple de 9.

Si 2021 était premier, on pourrait utiliser le petit théorème de Fermat.
Mais 2021 n'est pas premier. Décompose-le et essaye de trouver un lien avec ce que lake a écrit hier.

Je ne vais plus être disponible.
Mais d'autres aidants passeront peut-être.

PS tu n'as pas répondu à "Au fait, tu es en prépa ou en terminale ?".