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Théorème de Gauss

Posté par Profil Tulipe18 07-03-23 à 22:25

Bonjour,
Je n'arrive pas à faire cet exercice:
En titre, j'ai: Théorème de Gauss
Enoncé: Soit r un nombre rationnel dont le carré est un entier. Montrer que r est lui-même un entier.

Je ne vois pas comment appliquer le théorème de Gauss.
Voici ce que j'ai commencé à faire:
Si r est un nombre rationnel, alors il existe deux entiers p et q, avec q non nul, tel que: r=p/q et p et q sont premiers entre eux.
On sait que r² est un entier donc p²/q² est un entier. Cela veut dire qu'il existe un entier positif k tel que p²=kq².
Donc p²/q² = k d'où (p/q)²=k

Et là je bloque, je ne sais plus quoi faire???
Merci pour votre aide.

Posté par
LeHibou
re : Théorème de Gauss 07-03-23 à 23:33

Bonsoir,

Et là il faut utiliser le théorème (plutôt nommé le lemme) de Gauss, que je rappelle :
si a divise bc et si a est premier avec b alors a divise c.
Ici, p² divise kq², p est premier avec q donc p² est premier avec q² (il faut le justifier proprement), donc d'après Gauss p² divise k, donc k est multiple de p², donc...

Posté par Profil Tulipe18re : Théorème de Gauss 08-03-23 à 09:58

p² divise k donc il existe un entier positif p' tel que p²=p'k
mais je ne vois pas ce que je peux faire avec ça pour arriver à r entier?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Théorème de Gauss 08-03-23 à 10:51

Bonjour,

en attendant le retour de LeHibou
déja tu fais une erreur :
A divise B ne veut pas dire k * : A =kB
mais le contraire : B = kA

ici il existe k' : k = k'p²

et aussi tu n'as pas justifié du tout :

Citation :
p est premier avec q donc p² est premier avec q² (il faut le justifier proprement)

Posté par Profil Tulipe18re : Théorème de Gauss 08-03-23 à 12:03

Oui, pardon, je me suis trompée, c'est bien k=k'p².
Si j'ai bien compris, il faut que je montre d'abord que p² et q² sont premiers entre eux.
Pour cela, j'utilise le théorème de Gauss:
Si pgcd (a;b)=1 et pgcd (a;c) = 1 alors pgcd (a;bc)=1
Ici je prends a=p et b=c=q. Donc:
pgcd(p;q²)=1 ce qui veut dire que p et q² sont premier entre eux.
Cette fois, je prends a=q² et b=c=p. Donc:
pgcd (q²;p²)=1 donc p² et q² sont premiers entre eux.

Par contre, je ne comprends pas, cela n'est-il pas contradictoire avec le fait que r²=p²/q² est un entier (donc p² est divisible par q²)?

Posté par Profil Tulipe18re : Théorème de Gauss 08-03-23 à 12:24

Est-ce que je peux dire comme p² et q² sont premiers entre eux alors p²/q² est irréductible donc r² n'est pas entier?
Si cela est vrai, alors p et q ne doivent pas être premier entre eux et donc p/q n'est pas irréductible, c'est à dire p est un multiple de q:
il existe un entier k tel que: p=kq.
On a alors: r=kq/q=k donc r est un entier

Posté par
mathafou Moderateur
re : Théorème de Gauss 08-03-23 à 12:34

La contradiction est la clé de cet exo
tu pars de l'hypothèse que r = p/q rationnel non entier
tu aboutis à une contradiction, donc l'hypothèse est fausse et p/q n'est pas non entier.

ou on peut aussi simplifier p² = kq² sachant que k = k'p², ça reviendra au même pour obtenir la valeur de q

Posté par Profil Tulipe18re : Théorème de Gauss 08-03-23 à 13:59

Donc mon raisonnement est bon?
Comme p² et q² sont premiers entre eux alors p²/q² est irréductible donc r² n'est pas entier, ce qui est contradictoire avec l'énoncé.
Alors p et q ne doivent pas être premier entre eux et donc p/q n'est pas irréductible, c'est à dire p est un multiple de q:
il existe un entier k tel que: p=kq.
On a alors: r=kq/q=k donc r est un entier

Posté par
mathafou Moderateur
re : Théorème de Gauss 08-03-23 à 14:22

bof, comme les calculs faits supposent que p et q sont premiers entre eux, partir de l'hypothèse que p/q n'est pas irréductible réduit à néant tous les calculs effectués et on ne peut alors rien conclure du tout.

faire plutôt comme j'ai dit.
nota : "p et q sont premiers entre eux" inclut le cas particulier "p et q=1 sont premiers entre eux" (c'est à dire r entier !)

si q = 1 alors tous les calculs effectués sont encore valables
et ces calculs aboutissent justement à q = 1 sans le supposer au préalable.

Posté par
alwafi
re : Théorème de Gauss 08-03-23 à 14:25

Bonjour,
On a : r = p/q   avec p entier , q entier non nul  et ( p et q premiers entre eux )
Donc  p^2 = q^2 . r^2 = q .qr^2
Or qr^2 est un entier , donc q divise p^2
D'apre's le the'ore'me de Gauss q divise p
Donc il existe un entier k tel que p = k.q
Par suite r =k.q/q =k   c.q.f.d

Posté par
mathafou Moderateur
re : Théorème de Gauss 08-03-23 à 14:34

Citation :
q divise p^2
D'après le théorème de Gauss q divise p

faux

9 divise 36 = 6² pourtant 9 ne divise pas 6.

il faut ajouter obligatoirement l'hypothèse PGCD(p, q) =1
et alors effectivement le seul q premier avec p qui divise p² est q = 1

Posté par
mathafou Moderateur
re : Théorème de Gauss 08-03-23 à 14:36

correction : pas vu que PGCD(p, q) =1 était bien dans tes hypothèses de départ, donc OK.

Posté par Profil Tulipe18re : Théorème de Gauss 08-03-23 à 16:48

Merci à tous, j'ai compris

Posté par
carpediem
re : Théorème de Gauss 09-03-23 à 18:41

salut

déjà ici   Equation je t'avais remarqué que c'est faux .... mais je n'ai pas eu de retour ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Théorème de Gauss 09-03-23 à 18:50

bonjour carpediem
"c'est faux" est à ce stade ambigu

se rapporte au message déja ancien

Tulipe18 @ 08-03-2023 à 09:58

p² divise k donc il existe un entier positif p' tel que p²=p'k

la compréhension profonde sans faire d'erreurs répétées sur la signification de "A divise B".

Posté par
carpediem
re : Théorème de Gauss 09-03-23 à 18:55

oui j'aurai du préciser : en rapport au msg de mathafou à 10h51



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