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Théorème de Heine et dimension finie
Bonsoir !
Soit E un 
-e.v de dimension finie n
1.
On munit E d'une norme || ||.
Soit A un s.e.v de E.
Donc il existe un entier naturel m
n tel que dim(A)=m
On note B={e1, ..., em} base de A.
On la complète afin d'obtenir une base de E notée B'={e1, ..., em, ... en }.
On pose 
: A
m
(x1, ... , xm)
est clairement surjective. est linéaire et A est de dimension finie donc est continue.
Supposons que A est un compact de ( E,||.|| ) :
Alors m=(A) est un compact en tant qu'image directe d'une fonction continue sur un compact.
Or (, Te) n'est pas un compact. Par le théorème de Tychonov, m n'est pas un compact par rapport à la topologie produit associée à m
Je voudrai savoir où est mon erreur 
Ton raisonnement est (presque) correct, où est le souci exactement?
Si A est compact, alors m=0 et R^0 est bien compact.
Je dis presque, car le théoreme de tychonoff dit qu'un produit d'espaces compact est compact, il ne dit pas qu'un produit d'espaces non compacts est non compact. Bon cela dit le resultat est vrai, si un produit d'une famille (non vide) d'espaces est compact, alors tous ces espaces sont compacts.
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