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Theoreme de heine et uniforme continuité
Bonjour à tous,
Je me demandais dans l enoncé du theoreme de heine si l intervalle où la fonction se doit d etre continue est le domaine de la fonction? 
Par ce que je comprend pas, toutes fonctions C1 sont continues sur des compacts mais elle ne sont pas pour autant uniformement continue, si on prend x^2?
Merci d avance pour vos reponses 
Bonjour
C'est Heine et il n'y a pas que l'initiale qui est fausse dans ton énoncé. Une fonction continue sur un intervalle fermé borné y est uniformément continue. Bien sur cet intervalle doit être contenu dans le domaine de définition de la fonction.
La fonction carrée est uniformément continue sur chaque intervalle fermé borné, mais pas sur le fermé non borné
Bonsoir,
Cet intervalle est inclus dans le domaine, il n'est pas nécessaire que ce soit le domaine. C'est bien l'intérêt du théorème.
Je vous remercie pour toute vos réponses, je ne sais pas comment je suis arrivé à cette conclusion. Mais du coup comment on montre à partir de la définition la continuité uniforme de x ^2 sur les bornes fermé . J ai essayé mais j ai dû me planter dans ma majoration 
f(v)-f(u)=v2-u2=(v-u)(v+u)
On passe ensuite aux valeurs absolues. On majore |v+u| au moyen des bornes a et b de l'intervalle fermé borné, ce qui donne une constante (il y a peut-être des cas à distinguer).
Merci pr cette reponse:
J ai ecris ça :
On suppose (u-v)<
(u-v)(u+v)<(u+v)= 
Est ce qu on peut conclure sur ça?
Il faut passer aux valeurs absolues pour pouvoir appliquer les définitions.
Ensuite il faut majorer |u+v| par un réel indépendant de u et v (c'est l'idée de base de la convergence uniforme).
Pour simplifier, prenons a et b, bornes de l'intervalle, positifs (je te laisse généraliser). Alors |u+v|= u+v ≤ 2b =M
Pour conclure, étant donné , on choisit =/M .
Quand tu auras compris cette démonstration, tu as des chances d'avoir commencé à comprendre la notion de convergence uniforme.
Super d accord je crois que je viens de capter le truc
. Mais est ce que c est genant de debuter le calcul en se donnant un éta et de trouver un epsilone ou de faire l inverse?
Revois les définitions. Tu dois prouver que pour tout >0 il existe un >0 tel que ...
Le raisonnement est donc: soit >0 donné (et donc quelconque, on raisonne bien pour tout ), trouvons >0 (et donc montrons qu'il existe). C'est donc bien dans ce sens, et non pas dans l'autre.
Rien à dire à la démonstration de boninmi (que je salue). Mais le titre étant "Théorème de Heine" pourquoi la faire? Il serait plus utile de montrer que la fonction carrée n'est pas uniformément continue sur [0,+
Rien à dire à la démonstration de boninmi (que je salue). Mais le titre étant "Théorème de Heine" pourquoi la faire? Il serait plus utile de montrer que la fonction carrée n'est pas uniformément continue sur [0,+
[Il s'agit évidemment d'une redémonstration du théorème dans ce cas particulier. J'y vois l'intérêt d'aider à comprendre la notion de continuité uniforme et d'aider aussi à l'apprentissage des majorations / minorations (ici en fait majoration). La notion de continuité uniforme est abstraite, la replacer dans un cadre concret me semble pouvoir aider. Montrer que la fonction carrée n'est pas uniformément continue sur [0,+
[ me semble aller dans le même sens.
De plus, après avoir fait une ou deux démonstrations de ce type, on a aussi un bon argument en faveur de l'utilité du théorème de Heine ...
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