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Posté par
robby3re : Théorème de la limite centrale 20-06-08 à 20:41

dans le cours il donne 2 défintions-propriétés,
et les 2 sont celles de 20:37 et 20:29...

je suis quasi certain par contre que ton résultat de 20:29 se démontre avec Borel-Cantelli,mais ce n'est pas Borel-Cantelli

Posté par
H_aldnoerre : Théorème de la limite centrale 20-06-08 à 20:41

Bon enfin bref, si l'on montre que \Large{\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\mathbb{P}(|\frac{S_n}{n^{2a+1}}|\ge\epsilon)%3C+\infty} c'est fini, es-tu d'accord ?

Posté par
H_aldnoerre : Théorème de la limite centrale 20-06-08 à 20:42

Oui, oui, la démonstration se fait avec Borel-Cantelli, nous sommes d'accord.

Posté par
robby3re : Théorème de la limite centrale 20-06-08 à 20:48

oui je suis d'accord...je suis tout ouïe d'une proposition...j'y ai passé une bonne partie de mon aprés midi alors si t'as quelque chose, vas-y fais toi plaisir

Posté par
H_aldnoerre : Théorème de la limite centrale 20-06-08 à 20:52

Non mais justement j'ai rien du tout!


Il faut donc montrer que \Large{\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\mathbb{P}(|\frac{S_n}{n^{2a+1}}|\ge\epsilon)%3C+\infty} pour montrer que \Large{\frac{S_n}{n^{2a+1}} converge vers 0 p.s.


J'ai \Large{\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\mathbb{P}(|\frac{S_n}{n^{2a+1}}|\ge\epsilon)=2\Bigsum_{n=1}^{+\infty}exp(-\frac{(\epsilon%20n^{2a+1})^2}{2v_n}) mais je bloque sur l'étude de cette série.


Help!

Posté par
robby3re : Théorème de la limite centrale 20-06-08 à 20:53

égaloui ou inférieur ou égale??

sinon je suis d'accord...
je maintiens que c'est la série des k^2a qui me gene beaucoup...

Posté par
H_aldnoerre : Théorème de la limite centrale 20-06-08 à 20:58

Euh oui, \Large{\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\mathbb{P}(|\frac{S_n}{n^{2a+1}}|\ge\epsilon)\le 2\Bigsum_{n=1}^{+\infty}exp(-\frac{(\epsilon%20n^{2a+1})^2}{2v_n}).

Posté par
robby3re : Théorème de la limite centrale 20-06-08 à 21:00

voilà voilà...bref, c'est joli mais c'est ma maniable...j'ai pensé aux DL,ça sert à rien, j'ai essayé de me dépatouiller du v_n...j'ai rien trouvé de trés bon...bref,j'ai rien!

tu es bien certain à 100% de l'énoncé (notamment de cette question?)

Posté par
robby3re : Théorème de la limite centrale 20-06-08 à 21:05

bon si quelqu'un aune idée...quoique ce soit...
en attendant je vais aller manger un bout

Posté par
H_aldnoerre : Théorème de la limite centrale 20-06-08 à 21:14

J'ai peut être quelque chose :

Si l'on part de \Large{k^{2a}\le n^{2a}} (encore faut-il que ce soit correct!) on obtient que \Large{v_n\le n^{2a+1}}.
Soit \Large{exp(-\frac{(\epsilon n^{2a+1})^2}{2v_n}) \le exp(-\frac{\epsilon^2 n^{2a+1}}{2}).

Si l'on pose \Large{q=exp(-\frac{\epsilon^2 n^{2a}}{2})} on a \Large{exp(-\frac{\epsilon^2 n^{2a+1}}{2})=q^n.

On peut maintenant montrer que la série \Large{\Bigsum_{n=1}^{+\infty}exp(-\frac{\epsilon^2 n^{2a+1}}{2}) est convergente car \Large{0<q<1.
Donc idem pour la série \Large{\Bigsum_{n=1}^{+\infty}exp(-\frac{(\epsilon n^{2a+1})^2}{2v_n}). On peut conclure ?

Posté par
robby3re : Théorème de la limite centrale 20-06-08 à 22:11

je suis pas du tout convaincu

Posté par
H_aldnoerre : Théorème de la limite centrale 20-06-08 à 22:14

Par le fait que \Large{k^{2a}\le n^{2a}} ?

Posté par
robby3re : Théorème de la limite centrale 20-06-08 à 22:19

oui!

Posté par
H_aldnoerre : Théorème de la limite centrale 20-06-08 à 22:26

On a \Large{k^{2a}=e^{2aln(k)} et \Large{n^{2a}=e^{2aln(n)}.
On a \Large{1\le k\le n} soit \Large{ln(k)\le ln(n).
Puisque \Large{a>0}, on a aussi \Large{2aln(k)\le 2aln(n).
On utilise ensuite la croissance de la fonction exp ?

Posté par
robby3re : Théorème de la limite centrale 20-06-08 à 22:35

oui,ça semble fonctionner...je suis d'accord avec tout...

Posté par
H_aldnoerre : Théorème de la limite centrale 20-06-08 à 22:42

Ok!
Une idée pour la fin ?

Posté par
robby3re : Théorème de la limite centrale 20-06-08 à 22:46

absolument pas...ça ressemble au thm limite central mais j'arrive pas à le voir

Posté par
H_aldnoerre : Théorème de la limite centrale 20-06-08 à 22:50

Je cherche moi aussi. C'est ici que doit intervenir l'indication :
On utilisera le développement de Taylor du cosinus hyperbolique au voisinage de l'origine ainsi que l'inégalité classique pour tout \Large{t\ge%200}, \Large{t-\frac{t^2}{2}\le%20ln(1+t)\le%20t}.

Si j'ai quelque chose je te fais signe.

Posté par
robby3re : Théorème de la limite centrale 20-06-08 à 22:53

moi j'attend  que quelqu'un nous file un coup de main pour vérifier tout nos résultats et nous aider pour la suite...parce que au final,on sait pas vraiment si tout ce qu'on a fait est correct...alors bon...

Posté par
H_aldnoerre : Théorème de la limite centrale 21-06-08 à 01:50

Non mais c'est bon robby!


1) \Large{\Large{L_n(t)=\bigprod_{k=1}^ncosh(tk^a)}


2) \Large{L_n(t)\le%20exp(\frac{t^2v_n}{2}) ici il restera juste à montrer que \Large{cosh(t)\le%20exp(\frac{t^2}{2})


3) \Large{\mathbb{P}(|S_n|\ge%20x)\le%202exp(-\frac{x^2}{2v_n}) plus laborieux mais faisable en montrant avant que \Large{\mathbb{P}(|S_n|\ge%20x)\le%20 2exp(-tx+\frac{t^2v_n}{2}) et en choisissant \Large{t=\frac{x}{v_n}}


4) La on montre que \Large{\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\mathbb{P}(|\frac{S_n}{n^{2a+1}}|\ge\epsilon)%3C+\infty} et c'est bon!

Pour la dernière par contre, blocage total!

Posté par
H_aldnoerre : Théorème de la limite centrale 21-06-08 à 09:29

Citation :
il faudra regarder la limite peut-etre de la transformée de Laplace calculée en 1...

Pourquoi ça robby ?

Posté par
stokastikre : Théorème de la limite centrale 21-06-08 à 10:54

Vous avez montré ça ou pas:

\Large{\mathbb{P}(|S_n|\ge x)\le 2exp(-\frac{x^2}{2v_n})

?
Mais ça me parait bizarre parce que le membre de droite ne tend pas vers 0 quand n \to\infty, si ? Donc la série n'a aucune chance de converger...

Posté par
H_aldnoerre : Théorème de la limite centrale 21-06-08 à 13:26

Oui stokastik, et voici comment :

On a \Large{\mathbb{P}(|S_n|\ge x)=\mathbb{P}(S_n\ge x)+\mathbb{P}(S_n\le -x).

Puis on a \Large{\mathbb{P}(S_n\ge x)=\mathbb{P}(exp(tS_n)\ge exp(tx))\le \frac{\mathbb{E}[exp(tS_n)]}{exp(tx)}\le\frac{exp(\frac{t^2v_n}{2})}{exp(tx)}=exp(-tx+\frac{t^2v_n}{2}) vrai quelque soit \Large{t\ge 0}.
En particulier pour \Large{t=\frac{x}{v_n}}, on a \Large{\mathbb{P}(S_n\ge%20x)\le exp(-\frac{x^2}{2v_n}).

On raisonne à l'identique pour montrer que \Large{\mathbb{P}(S_n\le -x)\le exp(-\frac{x^2}{2v_n}).

En sommant, on obtient que \Large{\mathbb{P}(|S_n|\ge%20x)\le%202exp(-\frac{x^2}{2v_n}).
Qu'en penses-tu ?

Posté par
robby3re : Théorème de la limite centrale 21-06-08 à 13:27

Bonjour Stokastik...

on a bien montrer ce truc là.

sache que \large v_n=\Bigsum_{k=1}^n k^{2a}

ensuite es-tu d'accord avec le message de 21:14 le 20/06/08 de H_aldnoer?

Posté par
H_aldnoerre : Théorème de la limite centrale 21-06-08 à 13:37

En fait c'est bizarre que stokastik pose cette question car il est nul par indiquer que la série doit converger! Mais de quel série s'agit-il en fait ?

Posté par
robby3re : Théorème de la limite centrale 21-06-08 à 13:41

oui mais ta série de 21:14 si elle converge...ça voudrait dire au moins que son terme générale tend vers 0...je crois que c'est ce que se demande Stokastik...

Posté par
H_aldnoerre : Théorème de la limite centrale 21-06-08 à 14:14

Ah oui ok.
Pourtant c'est bien cela !

Avec un choix convenable de \Large{t\ge 0}, en déduire que, \Large{\forall x\ge 0}, \Large{\mathbb{P}(|S_n|\ge x)\le 2exp(-\frac{x^2}{2v_n}).

Honnêtement, je n'ai pas regarder si \Large{u_n:=2exp(-\frac{x^2}{2v_n})} est une suite qui tend vers 0 à l'infini, mais je reste persuadé que mon post de 21:14 est valable, permet de conclure à cette question.

Posté par
H_aldnoerre : Théorème de la limite centrale 21-06-08 à 14:16

En gros il faudrait montrer que \Large{v_n} tend vers \Large{+\infty} ?

Posté par
stokastikre : Théorème de la limite centrale 21-06-08 à 14:51

Il est clair que v_n tend vers l'infini, c'est pourquoi le membre de droite ne tend pas vers 0. Cette majoration me semble stupide puisque le membre de droite tend vers 2 quand n tend vers l'infini!!!

La série ne peut pas converger, il y a une erreur dans ton post de 21:14, c'est que  q  dépend de  n...

Posté par
robby3re : Théorème de la limite centrale 21-06-08 à 15:02

RE,
alors as-tu une autre idée pour montrer que
\large \frac{S_n}{n^{2a+1}} tend vers 0 presque surement??

Posté par
stokastikre : Théorème de la limite centrale 21-06-08 à 15:20

Aaaahhh pardon moi je parlais du membre de droite de:

\Large{\mathbb{P}(|S_n|\ge x)\le 2exp(-\frac{x^2}{2v_n})

mais il faut l'appliquer avec x=n^{2a+1}\epsilon, ce qui donne à droite

\Large{2exp(-\frac{n^{2(2a+1)}}{2v_n})

... ceci tend bien vers 0 (à vous de voir pourquoi). Reste à voir la série (à vous de jouer)

Posté par
stokastikre : Théorème de la limite centrale 21-06-08 à 15:24

... j'ai oublié le espilon mais ça ne change pas ce que je dis par la suite

Posté par
robby3re : Théorème de la limite centrale 21-06-08 à 15:26

Citation :
... ceci tend bien vers 0 (à vous de voir pourquoi). Reste à voir la série (à vous de jouer)

>

on va regarder ça mais vu qu'on a pas réussi hier en s'y mettant à 2 pendant 2 bonne sheures,je doute qu'on y arrive aujourd'hui
enfin,je vais quand meme rééssayer

Posté par
stokastikre : Théorème de la limite centrale 21-06-08 à 15:26

Ah ben H-aldnoer a compris le truc à 21:14:

\Large{exp(-\frac{(\epsilon n^{2a+1})^2}{2v_n}) \le exp(-\frac{\epsilon^2 n^{2a+1}}{2})

et là tu dis que n^{2a+1} > n et cette fois tu majoreras bien par une série géométrique!

Posté par
robby3re : Théorème de la limite centrale 21-06-08 à 15:31

on majore par la série de terme générale \large r=exp(-\frac{\epsilon^2}{2} ??

on a  \large r^n=exp(-\frac{n.\epsilon^2}{2})
comme 0<r<1
\large \Bigsum_{n=1}^{\infty} exp(-\frac{n.\epsilon^2}{2}) est convergente et on a bien ce que l'on veut?

Posté par
stokastikre : Théorème de la limite centrale 21-06-08 à 15:36

je ne sais pas

Posté par
stokastikre : Théorème de la limite centrale 21-06-08 à 15:43

Vous n'avez pas vu la transformée de Laplace en cours ? Si c'était le cas, pour montrer que

\Large{\frac{S_n}{n^a\sqrt{n}} \longrightarrow_{n\to +\infty} \mathcal{N}(0,\frac{1}{2a+1}),

j'aurais proposé de démontrer que la transformée de Laplace du truc de gauche converge vers la transformée de Laplace du truc de droite... mais si vous n'avez pas vu

Posté par
stokastikre : Théorème de la limite centrale 21-06-08 à 15:49

Vous avez vu la fonction génératrice des moments non ? C'est synonyme de transformée de Laplace pour une variable aléatoire!

Posté par
robby3re : Théorème de la limite centrale 21-06-08 à 16:32

On a \large L_n(t)=\Bigprod_{k=1}^n cosh(t.k^a)=T_{Laplace}(S_n)

on a:

\large T_{Laplace}(\frac{S_n}{n^a.\sqrt{n}})=\frac{1}{n^a.\sqrt{n}}.\Bigprod_{k=1}^n cosh(t.k^a)


et pour le membre de droite, j'ai:
si j'appelle \large Y la var \large \sim N(0,\frac{1}{2a+1})

\large L_Y(t)=\psi_Y(-it)=exp(-\frac[t^2}{2(2a+1)^2})

il faut montrer que \large T_{Laplace}(\frac{S_n}{n^a.\sqrt{n}}) \longrightarrow_{n\to \infty} L_Y(t)

Posté par
robby3re : Théorème de la limite centrale 21-06-08 à 16:34

désolé,erreur de frappe

On a \large L_n(t)=\Bigprod_{k=1}^n cosh(t.k^a)=T_{Laplace}(S_n) \\
on a:

\large T_{Laplace}(\frac{S_n}{n^a.\sqrt{n}})=\frac{1}{n^a.\sqrt{n}}.\Bigprod_{k=0}^n cosh(t.k^a)


et pour le membre de droite, j'ai:
si j'appelle \large Y la var \large \sim N(0,\frac{1}{2a+1})

\large L_Y(t)=\psi_Y(-it)=exp(-\frac{t^2}{2(2a+1)})

il faut montrer que \large T_{Laplace}(\frac{S_n}{n^a.\sqrt{n}}) \longrightarrow_{n\to \infty} L_Y(t)

Posté par
stokastikre : Théorème de la limite centrale 21-06-08 à 17:35

Oui je pense, la 1ère chose à faire est de "passer au log". Ainsi le produit devient somme.

Posté par
H_aldnoerre : Théorème de la limite centrale 22-06-08 à 00:31

N'oublions pas l'indication :
On utilisera le développement de Taylor du cosinus hyperbolique au voisinage de l'origine ainsi que l'inégalité classique pour tout \Large{t\ge%200},  \Large{t-\frac{t^2}{2}\le%20ln(1+t)\le%20t}!

Posté par
stokastikre : Théorème de la limite centrale 22-06-08 à 10:46

Alors, des tentatives ?

Posté par
H_aldnoerre : Théorème de la limite centrale 22-06-08 à 11:05

Je cherche toujours, mais je trouve cette question plutôt délicate pour ma part.

Posté par
stokastikre : Théorème de la limite centrale 22-06-08 à 11:17

En efeft ça a l'air cho.

Explorons un peu...

3$\log\left(\frac{1}{n^a.\sqrt{n}}.\Bigprod_{k=0}^n cosh(t.k^a)\right)=\log\left(\frac{1}{n^a.\sqrt{n}}\right)+\Bigsum_{k=0}^n \log\left(cosh(t.k^a)\right)

... mais êtes-vous sûr et certain de la transformée de Laplace d'abord ? Je vois pas trop quoi faire avec la somme, même avec les indications.

Posté par
stokastikre : Théorème de la limite centrale 22-06-08 à 11:21

... en tous cas elle m'a l'air juste!

Posté par
H_aldnoerre : Théorème de la limite centrale 22-06-08 à 11:21

Je suis quasi-certain du fait que \Large{L_n(t)=\bigprod_{k=1}^ncosh(tk^a).
En effet, dans la suite on demande d'en déduire que \Large{L_n(t)\le%20exp(\frac{t^2v_n}{2}) en utilisant le fait que \Large{cosh(t)\le%20exp(\frac{t^2}{2}).

On a alors que \Large{cosh(tk^a)\le%20exp(\frac{t^2k^{2a}}{2}), soit \Large{\bigprod_{k=1}^n cosh(tk^a)\le\bigprod_{k=1}^n exp(\frac{t^2k^{2a}}{2}), i.e. \Large{L_n(t)\le%20exp(\frac{t^2v_n}{2}) avec \Large{v_n=\Bigsum_{k=1}^nk^{2a}.

Es-tu convaincu ?
D'ailleurs, je ne vois toujours pas comment montrer que [tex]\Large{cosh(t)\le%20exp(\frac{t^2}{2})[/tex sans passer par une étude de fonction! Une idée ?

Posté par
stokastikre : Théorème de la limite centrale 22-06-08 à 11:28

oui oui convaincu.

Pour la dernière question, je sèche!

Posté par
stokastikre : Théorème de la limite centrale 22-06-08 à 11:35

Citation :
Pour la dernière question, je sèche!


Je parlais de la dernière question de l'exo... pour montrer l'inégalité sur cosh ça se passe pas mal en écrivant les développements en série entière des 2 membres de l'égalité:

\Large{cosh(t)\le%20exp(\frac{t^2}{2})

Car

\Large{cosh(t)=\sum \frac{t^{2j}}{(2j)!} }

et 5$\exp(\frac{t^2}{2})= \sum \frac{t^{2j}}{2^jj!}

et on se convainc assez facilement que 4$2^jj!\leq(2j)! (avec inégalité stricte dès que j>2)

Posté par
H_aldnoerre : Théorème de la limite centrale 22-06-08 à 11:53

Citation :
et on se convainc assez facilement

C'est sûr ?
Je ne le vois pas sans une récurrence!

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