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Théorème de Ménélaüs

Posté par
DarkVador 11-04-11 à 14:54

Bonjour, j'ai un exercice de Maths que je n'arrive pas, qui inclut un théorème que je n'ai jamais vu...
Voici l'énoncé :

On considère un triangle ABC et trois points P de (BC), Q de (AC) et R de (AB) distincts des points A, B et C.
1. Justifiez l'éxistence de 3 réels p,q et r tels que P barycentre de (B;1),(C;-P), Q barycentre de (C;1),(A;-q) et R celui de (A;1),(B;-r).

2. Dans le repère (A;vecteur AB;Vecteur AC, déterminez les coordonnées de R,Q puis P.

3.Démontrer que P,Q et R sont alignés ssi pqr=1 !

4. On Donne R symetrique de B par rapport à A et Q milieu de [AC],
(RQ) coupe (BC) en P.
Quelle est la position de P sur (BC)?


Voila, j'ai commencé à faire le dessin mais je bloque dès la première question...
Merci d'avance à vous et à votre aide, qui m'ont permis au dernier DM de Maths d'obtenir une bonne note et de comprendre (enfin) cet exercice!
A très bientot!

Posté par
Pierre_Dre : Théorème de Ménélaüs 11-04-11 à 18:57

Bonjour Darkvador,

Pour te débloquer :

P étant un point de la droite (BC), sauf B et C, on a  :   \vec{BP}\ =\ k\vec{BC}\ =\ k\vec{BP}+k\vec{PC}  avec k0, k1 ...

Posté par
DarkVadorre : Théorème de Ménélaüs 14-04-11 à 11:09

Merci! J'ai réussi la première question, j'ai trouvé que P barycentre de (B,1) (c,-p), que Q barycentre de (C,1) (A,-q) et que R barycentre de (A,1) (B,-r). Ainsi j'ai trouvé les coordonnées, P(1,-p) ; R(1,-r) et Q(1,-q), je voudrais savoir si elles sont exactes et si c'est le cas, je n'arrive pas à faire la troisième question..

Merci d'avance.

Posté par
Pierre_Dre : Théorème de Ménélaüs 14-04-11 à 15:44

Tu ne démontres rien en te contentant de reprendre l'énoncé.

Prenons le cas de R :

1) Montrer qu'il existe un réel r tel que R soit le barycentre de (A;1),(B;-r).
R appartient à (AB), et est différent de A et B    il existe un réel c 0 et 1 tel que  \vec{AR}\ =\ c\vec{AB}
Cela s'écrit aussi bien :  \vec{AR}\ =\ c(\vec{AR}+\vec{RB}) , ou encore  (1-c)\vec{AR}-c\vec{RB}\ =\ 0 , ou encore  (c-1)\vec{RA}-c\vec{RB}\ =\ 0 , ou encore puisque c-10 :  \vec{RA}-\frac c{c-1}\vec{RB}\ =\ 0 ,
ce qui est la définition même de R comme barycentre de  (A;1),(B;-\frac c{c-1}) : r existe bien et vaut  3$r=\frac c{c-1}

2) Dans le repère (A;\vec{AB};\vec{AC}), déterminez les coordonnées de R ...
Dans ce repère, les coordonnées de R sont (c;0) puisque  \vec{AR}\ =\ c\vec{AB} .  Pour les avoir en fonction de (p, q,) r, il suffit de remplacer c par sa valeur en fonction de r .
Or on montre facilement que   3$r=\frac c{c-1}    3$c=\frac r{r-1}  
Les coordonnées de R sont donc   3$(\frac r{r-1};0)

Idem pour Q et P , avec  \vec{CQ}\ =\ b\vec{CA}  et  \vec{BP}\ =\ a\vec{BC} ,  mais en faisant attention pour les coordonnées de Q et P , où on utilisera comme toujours la relation de Chasles :
\vec{AQ}\ =\ \vec{AC}+\vec{CQ}\ =\ \vec{AC}+b\vec{CA}\ =\ (1-b)\vec{AC}        Q(0;1-b)
\vec{AP}\ =\ \vec{AB}+\vec{BP}\ =\ \vec{AB}+a\vec{BC}\ =\ \vec{AB}+a(\vec{BA}+\vec{AC})}\ =\ (1-a)\vec{AB}+a\vec{AC}        P(1-a;a)

Posté par
Flash77re : Théorème de Ménélaüs 19-04-11 à 11:47

Bonjour ! Voilà j'ai exactement le même exercice et pour la question 2 je trouve quelque chose de différent. Dans le repère (A;AB;AC)
A(0;0) B(1;0) C(0;1)Si P = Barycentre B,1 C,-p, alors les coordonnées de P sont :
P(1;-p).
J'ai faux ?

Posté par
Pierre_Dre : Théorème de Ménélaüs 19-04-11 à 12:13

Ben oui, c'est faux : pour avoir les coordonnées x et y de P dans le repère  (A;\vec{AB};\vec{AC}) , Il faut exprimer  \vec{AP}  sous la forme  \vec{AP}\ =\ x\vec{AB}+y\vec{AC}, tout en sachant ici que  \vec{PB}-p\vec{PC}\ =\ 0 , soit  \vec{PA}+\vec{AB}-p(\vec{PA}+\vec{AC})\ =\ 0

Posté par
Flash77re : Théorème de Ménélaüs 19-04-11 à 16:29

J'ai pas saisis ..

Posté par
Pierre_Dre : Théorème de Ménélaüs 19-04-11 à 17:13

Je continue donc :
\vec{PA}+\vec{AB}-p(\vec{PA}+\vec{AC})\ =\ 0 \\ (1-p)\vec{PA}+\vec{AB}-p\vec{AC}\ =\ 0 \\ (p-1)\vec{AP}+\vec{AB}-p\vec{AC}\ =\ 0 \\ \vec{AP}\ =\ -\frac1{p-1}\vec{AB}\,+\,\frac p{p-1}\vec{AC}

Posté par
Flash77re : Théorème de Ménélaüs 19-04-11 à 17:43

Oui j'ai trouvé ça aussi en procédant d'une autre manière !
Nous sommes dans le repère A;Ab;Ac et donc les coordonnés de ces points sont A(0;0) B(1;0) et C(0;1)
Donc avec la formule (xG yG) = (α/α+β)(xA yA) + (β/α+β)(xB yB) j'ai trouvé P(1/1-p ; -p/1-p)
C'est bien ça alors on m'a dit que c'était faux ..

Posté par
Pierre_Dre : Théorème de Ménélaüs 19-04-11 à 20:37

Mais non, ce n'est pas faux.

Posté par
Flash77re : Théorème de Ménélaüs 19-04-11 à 21:29

Merci !!


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