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Théorème de Menelaüs

Posté par
pppa
15-06-15 à 14:40

Bonjour

pouvez-vous m'aider svp à résoudre cet exercice.

Enoncé :

Soit un triangle ABC :

Sur les droites (BC), (CA) et (AB) on place resp. les points A', B' et C' tels que :

\dfrac{\bar{A'B}}{\bar{A'C}} = \alpha ; \dfrac{\bar{B'C}}{\bar{B'A}} = \beta ; \dfrac{\bar{C'A}}{\bar{C'B}} =\gamma

avec ,, différents de 1

1/ exprimer \vec{A'B'} en fonction de , , \vec{AB}, \vec{AC}

2/ 1/ exprimer \vec{A'C'} en fonction de , , \vec{AB}, \vec{AC}

3/ En déduire le théorème de Menelaüs : pour que les points A',B' et C' soient alignés, il faut et il suffit que : \dfrac{\bar{A'B}}{\bar{A'C}}.\dfrac{\bar{B'C}}{\bar{B'A}}.\dfrac{\bar{C'A}}{\bar{C'B}} = 1

                             -----------------------------------------

De l'écriture à partir des mesures algébriques, j'ai pu déduire que : \vec{A'B} = \alpha \vec{A'C} ; \vec{B'C} = \beta \vec{B'A} ; \vec{C'A} = \gamma \vec{C'B}.

Pour répondre à la question 1, j'ai essayé de décomposer \vec{A'B'} selon la relation de Chasles en utilisant les termes demandés, mais je tourne en rond pour parvenir à établir l'égalité demandée. Pouvez-vous m'aider à la trouver svp ?merci par avance

Posté par
pppa
re : Théorème de Menelaüs 15-06-15 à 14:43

Ecriture complète de la question 3

\dfrac{\bar{A'B}}{\bar{A'C}}.\dfrac{\bar{B'C}}{\bar{B'A}}.\dfrac{\bar{C'A}}{\bar{C'B}} = 1

Posté par
malou Webmaster
re : Théorème de Menelaüs 15-06-15 à 14:56

Bonjour

tu peux regarder là, j'avais aidé à l'époque Vecteurs dans un triangle

Posté par
mathafou Moderateur
re : Théorème de Menelaüs 15-06-15 à 18:05

Bonjour,

c'est vrai que c'est beaucoup plus sympa d'interpréter les calculs en termes de coordonnées dans le repère \left(A; \vec{AB}; \vec{AC}\right)
que de chercher à deviner la succession de relations de Chasles qu'il va falloir suivre pour aboutir à \vec{A'B'} = x\vec{AB} + y\vec{AC} avec x et y des fonctions de et

en fait "par définition" x et y sont les coordonnées du vecteur \vec{A'B'} dans ce repère...

Posté par
pppa
re : Théorème de Menelaüs 15-06-15 à 20:12

Merci à vous deux, j'oriente mes recherches dans ce sens.

Posté par
pppa
re : Théorème de Menelaüs 17-06-15 à 10:42

Bonjour

je reviens sur cet exercice et sa suite.

Grâce à vos conseils et au théorème de Thalès, j'ai pu trouver - je pense que c'est le bon résultat, par des vérifications et un contrôle graphique sur un cas concret - les expressions demandées :

\vec{A'B'} = \dfrac{1}{\alpha - 1}.\vec{AB} + \dfrac{\alpha . \beta - 1}{(\alpha - 1).(1 - \beta)}. \vec{AC}

\vec{A'C'} = \dfrac{1 - \alpha \gamma}{(1 -\alpha).(\gamma - 1)}.\vec{AB} + \dfrac{\alpha}{1 - \alpha}. \vec{AC}.

Pour la réponse à la question 3, je me pose des questions.
- a priori, à partir de ce que j'ai établi, je ne vois pas de "déduction" directe comme semble l'indiquer l'énoncé.
- l'expression "il faut et il suffit que", correspondant à une équivalence logique, sa démonstration complète se fait en démontrant une double implication.
J'établis sans difficulté que :
si .. = 1, alors les points A', B' et C' sont alignés (colinéarité de \vec{A'B'} et \vec{A'C'}), mais je ne vois pas comment établir l'implication réciproque.
Comment feriez-vous ?

Cet exercice à une suite, qui vise à établir le théorème de Ceva.

On reprend les mêmes données que précédemment, et on précise :

On suppose que les droites (BB') et (CC') sont sécantes en M.
Exprimer \vec{AA'} en fonction de , \vec{AB} et \vec{AC} et \vec{AM} en fonction de , , \vec{AB} et \vec{AC}

En déduire le théorème de Ceva : pour que les droites (AA'), (BB') et (CC') soient concourantes, il faut et il suffit que
\dfrac{\bar{A'B}}{\bar{A'C}}.\dfrac{\bar{B'C}}{\bar{B'A}}.\dfrac{\bar{C'A}}{\bar{C'B}} = -1 .
                           -----------------------------------
J'ai pu déterminer les coordonnées de M, intersection des droites (BB') et (CC'), et vérifier la cohérence. J'ai trouvé les expressions demandées de de \vec{AA'} et \vec{AM}.

Là encore, j'établis facilement que si .. = -1, alors les 3 droites sont concourantes, mais je ne vois pas comment établir l'implication réciproque, ou alors comment en faire une déduction immédiate à partir des résultats précédents.

Là encore, j'ai besoin de votre aide.

Merci par avance

Posté par
mathafou Moderateur
re : Théorème de Menelaüs 17-06-15 à 10:59

Bonjour,

l'équivalence logique est directement dans l'équivalence de départ

A'B'C' alignés équivaut à \vec{A'B'} et \vec{A'C'} colinéaire équivaut à relation entre leurs coordonnées équivaut à ... etc

on démontre ainsi en une seule fois le théorème direct et sa réciproque en raisonnant partout par équivalences.
idem pour Céva

Posté par
pppa
re : Théorème de Menelaüs 17-06-15 à 12:55

Mathafou,

Je suis d'accord avec ton raisonnement et ses enchaînements Mon problème, c'est que je n'ai pu établir la colinéarité entre \vec{A'B'} et \vec{A'C'} qu'en me servant du résultat final auquel on veut parvenir, c'est à dire en posant \gamma = \dfrac{1}{\alpha . \beta} ; en effet, c'est là ma question, comment établir la colinéarité entre ces deux vecteurs sachant que les coordonnées de l'un comporte comme paramètres et , et l'autre et ?

Par contre, en posant \gamma = \dfrac{1}{\alpha . \beta}, là j'établis que
\vec{A'C'} = \dfrac{\alpha.(1-\beta)}{1-\alpha.\beta}.\vec{A'B'}, (ce qui me conforte dans le fait que les formules sont bonnes),
mais le raisonnement est biaisé, non ?
Comment toi établis-tu la colinéarité sans te servir du résultat final auquel il faut aboutir ?

Merci de me dire ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Théorème de Menelaüs 17-06-15 à 13:23

colinéarité XY'=X'Y
c'est à dire :

\dfrac{1}{\alpha - 1}\times\dfrac{\alpha}{1 - \alpha} = \dfrac{\alpha . \beta - 1}{(\alpha - 1).(1 - \beta)}\times \dfrac{1 - \alpha \gamma}{(1 -\alpha).(\gamma - 1)}

(en recopiant ce que tu as écris sans le vérifier)

ensuite c'est de la simplification et développement et rien d'autre

Posté par
pppa
re : Théorème de Menelaüs 17-06-15 à 20:02

Merci pour ta réponse, Mathafou.

C'est la bonne méthode pour alimenter le cheminement logique, mais je constate que...ça ne colle pas avec mes résultats...pourtant!

Je refais mes calculs; maintenant que tu m'as bien aidé sur la méthode, je devrais m'en sortir

Posté par
mathafou Moderateur
re : Théorème de Menelaüs 17-06-15 à 22:18

il y a une factorisation peu visible du résultat

on obtient "en vrai" (-1)(-1) = 0

et comme 1 ...

Posté par
pppa
re : Théorème de Menelaüs 18-06-15 à 20:13

Effectivement, elle est peu visible !

Merci de m'avoir donné cette information avant que j'aie repris tous mes calculs ; ils étaient bons. J'ai développé l'égalité que tu as mentionnée hier et j'arrive à :
+ - ² - 1 = 0, ce qui correspond au développement du produit de facteur que tu m'as indiqué.

Mais peux-tu me dire ton "secret"? Comment, à partir de cette égalité, arrives-tu à factoriser ? ou as-tu obtenu le produit de facteurs directement par un autre moyen ?

Merci de me dire

Posté par
malou Webmaster
re : Théorème de Menelaüs 18-06-15 à 20:58

+ - ² - 1

= - ² + - 1

= (1-) + (- 1)

= ....

toujours un oeil sur ce qu'on a et l'autre sur ce qu'on veut !.....

Posté par
pppa
re : Théorème de Menelaüs 18-06-15 à 22:56

Eh oui.....

Bien vu.

Merci pour la réponse et le conseil



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