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théorème de morley

Posté par (invité) 22-03-04 à 18:29

j'ai un dm mais je comprend rien a cet exos, SVP aidez moi !

Soit un triangle quelconque ABC.On construit les trissectrices de chacun
des angles de ce triangle, c'est a dire en 3 angles égaux. On
note I,J, K les pts d'intersection des  trissectrices adjacentes
de ces angles.

On pose : a= 1/3 BÂC ,   = 1/3 C^BA, y= 1/3 A^CB

On note R le rayon du cercle circonscrit a ABC.

1.a. Montrer que AB= 2Rsin(3y)
b. Montrer que AI= 2R((sin sin(3y)/(sin(a+ ))

2.a. Exprimer sin (3y) en fonction de sin y et de cos y

b. montrer alors que:
sin(3y)= 4 sin y sin (   /3 - y) sin ( /3 + y)

Posté par Guillaume (invité)re : théorème de morley 23-03-04 à 11:28

1)a)
Soit O le centre du cercle circonscrit, M le milieu de AB , dans le triangle
BMO on a : sin(BOM)=BM/BO
or BM=AB/2
et BO=R
donc
sin(BOM)=AB/2R

or dans le cercle circonscrit on a BOA=2BCA (angle aux centres)
donc BOM=BOA/2=BCA

donc sin(BAC)=AB/2R

AB=2Rsin(BCA)
on finit e remarquant que BCA=3y (definition)
donc
AB=2Rsin(3y)

b)Soit N le projeté orthognal de I sur AB
sin(a)=NI/AI=NI/AI

tan(a)=NI/AN donc AN=NI/tan(a)
tan(b)=IN/BN donc BN=NI/tan(b)

donc
AB=AN+BN=NI(1/tan(a)+1/tan(b))=NI(cos(a)/sin(a)+cos(b)/sin(b))=NI(sin(a+b)/sin(a)sin(b)

d'ou
AI=NI/sin(a)=AB(sin(a)sin(b)/sin(a+b)/sin(a)
AI=2Rsin(3y)sin(b)/sin(a+b)


2)a)sin(3y)=sin(2y+y)=sin(2y)cos(y)+cos(2y)sin(y)
=cos(y)[2sin(y)cos(y)]+sin(y)[cos(y)cos(y)-sin(y)sin(y)]
=2sin(y)cos(y)²+sin(y)cos(y)²-sin(y)^3
=3sin(y)cos(y)²-sin(y)^3
b)
=sin(y)[3-3sin((y)²-sin(y)²]
=sin(y)[3-4sin(y)²]
=4sin(y)[3/4-sin(y)²]
=4sin(y)[sin(pi/3)²-sin(y)²] car sin(pi/3)=rac(3)/2
=4sin(y)[sin(pi/3-y)sin(pi/3+y)] (formule (a²-b²)=(a-b)(a+b) apppliquée aux sin...)

ouf
A+

Posté par (invité)re : théorème de morley 23-03-04 à 18:50

merci guillaume
mais en fait l'exo il est pas fini :
c. en déduire que :
AI= 8 Rsin sin y sin( /3+y)

d. Montrer sans nouveaux calculs que :
AI/sin ( /3+y) = AK/sin (   /3 +
) = 8Rsin   sin y



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