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théorème de morley
j'ai un dm mais je comprend rien a cet exos, SVP aidez moi !
Soit un triangle quelconque ABC.On construit les trissectrices de chacun
des angles de ce triangle, c'est a dire en 3 angles égaux. On
note I,J, K les pts d'intersection des trissectrices adjacentes
de ces angles.
On pose : a= 1/3 BÂC , 
= 1/3 C^BA, y= 1/3 A^CB
On note R le rayon du cercle circonscrit a ABC.
1.a. Montrer que AB= 2Rsin(3y)
b. Montrer que AI= 2R((sin sin(3y)/(sin(a+ ))
2.a. Exprimer sin (3y) en fonction de sin y et de cos y
b. montrer alors que:
sin(3y)= 4 sin y sin ( 
/3 - y) sin ( /3 + y)
1)a)
Soit O le centre du cercle circonscrit, M le milieu de AB , dans le triangle
BMO on a : sin(BOM)=BM/BO
or BM=AB/2
et BO=R
donc
sin(BOM)=AB/2R
or dans le cercle circonscrit on a BOA=2BCA (angle aux centres)
donc BOM=BOA/2=BCA
donc sin(BAC)=AB/2R
AB=2Rsin(BCA)
on finit e remarquant que BCA=3y (definition)
donc
AB=2Rsin(3y)
b)Soit N le projeté orthognal de I sur AB
sin(a)=NI/AI=NI/AI
tan(a)=NI/AN donc AN=NI/tan(a)
tan(b)=IN/BN donc BN=NI/tan(b)
donc
AB=AN+BN=NI(1/tan(a)+1/tan(b))=NI(cos(a)/sin(a)+cos(b)/sin(b))=NI(sin(a+b)/sin(a)sin(b)
d'ou
AI=NI/sin(a)=AB(sin(a)sin(b)/sin(a+b)/sin(a)
AI=2Rsin(3y)sin(b)/sin(a+b)
2)a)sin(3y)=sin(2y+y)=sin(2y)cos(y)+cos(2y)sin(y)
=cos(y)[2sin(y)cos(y)]+sin(y)[cos(y)cos(y)-sin(y)sin(y)]
=2sin(y)cos(y)²+sin(y)cos(y)²-sin(y)^3
=3sin(y)cos(y)²-sin(y)^3
b)
=sin(y)[3-3sin((y)²-sin(y)²]
=sin(y)[3-4sin(y)²]
=4sin(y)[3/4-sin(y)²]
=4sin(y)[sin(pi/3)²-sin(y)²] car sin(pi/3)=rac(3)/2
=4sin(y)[sin(pi/3-y)sin(pi/3+y)] (formule (a²-b²)=(a-b)(a+b) apppliquée aux sin...)
ouf
A+
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