Niveau Licence-pas de math

Théorème de Pythagore

Posté par
Mayssam 21-06-18 à 11:23

Bonjour,

Je bloque à cet exercice.
Soit H un espace de Hilbert et soient $\varphi , \psi \in H$ deux vecteurs orthogonaux. Montrer que l'on a la relation de Pythagore

1
$\parallel \varphi \parallel ^{2}+ \parallel \varphi \parallel ^{2} = \parallel \varphi +\psi \parallel ^{2}$

2 Pourquoi trouve-t-on ce résultat élémentaire de la géométrie euclidienne dans un plan pour un espace hilbertien quelconque ( qui peut être de dimension finie ou non finie)?

Merci pour votre aide.

Posté par re : Théorème de Pythagore 21-06-18 à 11:48

Bonjour !
Tout simplement parce que $\lVert u\rVert^2=\langle u,u\rangle$ et le produit scalaire $(x,y)\mapsto\langle x,y\rangle$ est bilinéaire.
Il te suffira de développer $\lVert\varphi+\psi\rVert^2=\langle\varphi+\psi,\varphi+\psi\rangle$

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