Bonsoir je veux démontrer le théorème de Riesz-fischer qui dit que : soit (Un) une de Cauchy dans LP(u) alors il existe une sous-suite (Unk) extraite de (Un) telle que i) Unk(x) tend vers U(x) quand k tend vers l'infini pour presque tout x € omega ii) l'intégrale sur omega de |Un-U| tend vers 0 quand n tend vers l'infini. Mercie
Bonjour Hakinov.
Je peux te donner les grandes étapes :
1/ Définition d'une suite de Cauchy :
Soit une suite de Cauchy de .
Il existe une suite d'entiers strictement croissante telle que .
On pose et
2/ On applique Beppo-Levi
g est mesurable et
3/ On applique Minkowski
et
4/ L'absolue convergence entraîne la convergence
Ecrire que
La suite est convergente pp vers une fonction mesurable.
5/ Montrer que
6/ On applique le Théorème de convergence dominée à la suite
Pour montrer que dans
7/ Montrer que -pp
Ecrire
Conclusion : la suite converge vers dans et -pp vers
On peut continuer
8/ Application du Lemme de Fatou pour montrer qu'en fait, toute la suite converge vers f dans
Si des étapes te posent soucis, on pourra détailler.
Bonjour M. Jsvdb Merci d'avance le point 1) n'est que la définition au point 2) j'ai appliqué le théorème de Beppo-levi et ensuite j'ai trouvé ||fn1-fno||+2<l'infini qui est le point 3) le point 4) g=f(nk+1)- f(nk) alors ||g||=||la somme de f(nk+1)-f(nk)||< la somme||f(nk+1)-f(nk)|| qui est fini entraine la l'absolue convergence donc la convergence. oriente moi si y'a des erreurs et aide moi sur le point 5) ,6) ... Merci.
Je suppose 1/ 2/ et 3/ acquis.
4/ Comme alors est pp convergente sur E donc est pp convergente sur E vers une fonction qu'on va noter .
Donc la suite converge pp vers .
5/
Or donc
On applique le TCD à la suite :
-pp
et donc
Donc la suite converge vers dans par le TCD.
Par ailleurs :
-pp
Donc c'est-à-dire
Conclusion : la suite converge vers dans et simplement vers presque partout.
8/ Je ne suis pas sur qu'il soit obligatoire d'utiliser le lemme de Fatou, car de la suite de Cauchy on a trouvé une sous-suite convergente vers , donc toute la suite est convergente vers dans .
Bonsoir merci pour ton aide concernant ii) du théorème je peux partir de ça |U(nk)-U| a la puissance p tend vers 0 quand n tend vers l'infini je prend la norme de ||f-fnk||= intégrale sur omega de|f-fnk|du≤integrale de la somme alant de i=o jusqu'à l'infini de|Un|du en suite la permutation entre l'intégrale et la limite =la somme de i=o à l'infini ||f-fnk|| p≤ à la somme 1/2^p ensuite la limite nous donne ||f-fnk|| tend vers . rectifie si y'a des erreurs propose aussi.
Pour 2/, y'a pas à se prendre la tête : la suite est une suite croissante de fonctions positives mesurables.
Donc la suite l'est aussi et converge vers .
Conclusion par le Théorème de Convergence Monotone :
- est mesurable (en tant que limite simple d'une suite de fonctions mesurables, pas besoin du TCM)
- (et non comme je l'ai annoncé.)
Ensuite, l'inégalité de Minkowski permet de préciser que
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :