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Théorème de Riesz-fischer

Posté par
Hakinov
04-12-19 à 15:50

Bonsoir je veux démontrer le théorème de Riesz-fischer qui dit que : soit (Un) une de Cauchy dans LP(u) alors il existe une sous-suite (Unk) extraite de (Un) telle que i) Unk(x) tend vers U(x) quand k tend vers l'infini  pour presque tout x € omega ii) l'intégrale sur omega de |Un-U| tend vers 0 quand n tend vers l'infini.  Mercie

Posté par
Hakinov
re : Théorème de Riesz-fischer 04-12-19 à 15:54

Je sais comment debuter mais par la suite je me perds dans le fil d'idée.     Merci.                                

Posté par
jsvdb
re : Théorème de Riesz-fischer 04-12-19 à 18:04

Bonjour Hakinov.
Je peux te donner les grandes étapes :

1/ Définition d'une suite de Cauchy :

Soit (f_n)_n une suite de Cauchy de L^p.
Il existe une suite d'entiers strictement croissante (n_k)_k telle que ||f_{n_{k+1}}-f_{n_k}||_p \leq \frac{1}{2^k}.

On pose g_k = \sum_{i=0}^k|f_{n_{i+1}}-f_{n_i}| et g = g_\infty

2/ On applique Beppo-Levi

g est mesurable et \int_E|g|^pd\mu \leq \lim_{k\rightarrow \infty }\int_E |g_k|^pd\mu

3/ On applique Minkowski

g \in L^p(\mu) et ||g_k||_p \leq 2

4/ L'absolue convergence entraîne la convergence

Ecrire que \sum_{i=0}^k(f_{n_{i+1}}-f_{n_i})=f_{n_k}-f_{n_0}

La suite (f_{n_k})_k est convergente pp vers une fonction f mesurable.

5/ Montrer que f \in L^p

6/ On applique le Théorème de convergence dominée à la suite (f_{n_k})_k

Pour montrer que (f_{n_k})_k\rightarrow f dans L^p

7/ Montrer que |f_{n_k}(x) - f(x)|^p \rightarrow 0 ~\mu-pp

Ecrire |f_{n_k}(x)-f(x)|^p \leq (f_{n_0}(x)+|g(x)|+|f(x)|)^p

Conclusion : la suite (f_{n_k})_k converge vers f dans L^p(\mu) et \mu-pp vers f

On peut continuer

8/ Application du Lemme de Fatou pour montrer qu'en fait, toute la suite converge vers f dans L^p(\mu)

Si des étapes te posent soucis, on pourra détailler.

Posté par
Hakinov
re : Théorème de Riesz-fischer 05-12-19 à 13:22

Bonjour M. Jsvdb Merci d'avance le point 1) n'est que la définition au point 2) j'ai appliqué le théorème de Beppo-levi et ensuite j'ai trouvé ||fn1-fno||+2<l'infini qui est le point 3) le point 4) g=f(nk+1)- f(nk) alors ||g||=||la somme de f(nk+1)-f(nk)||< la somme||f(nk+1)-f(nk)|| qui est fini entraine la l'absolue convergence donc la convergence. oriente moi si y'a des erreurs et aide moi sur le point 5) ,6) ... Merci.

Posté par
jsvdb
re : Théorème de Riesz-fischer 05-12-19 à 15:15

Je suppose 1/ 2/ et 3/ acquis.

4/ Comme \int_E |g|^p \leq \infty alors \sum_{i\in \N}|f_{n_{i+1}}-f_{n_i}| est pp convergente sur E donc \sum_{i\in \N}f_{n_{i+1}}-f_{n_i} est pp convergente sur E vers une fonction qu'on va noter f.

Donc la suite (f_{n_k})_k converge pp vers f.

5/
\begin{aligned} |f_{n_k}(x)| & = |f_{n_0}(x)+\sum_{i=0}^{k-1}f_{n_{i+1}}-f_{n_i} |\\ & \leq |f_{n_0}(x)|+\sum_{i=0}^{k-1}|f_{n_{i+1}}-f_{n_i}| \\ & \leq  |f_{n_0}(x)| + |g(x)|\end{aligned}

Or f_{n_0},g \in L^p donc |f_{n_0}|+|g| \in L^p

On applique le TCD à la suite (f_{n_k})_k :

|f_{n_k}(x)| \rightarrow |f(x)|~\mu-pp

|f_{n_k}|^p\leq (|f_{n_0}|+|g|)^p et donc

\int_E|f|^pd\mu = \lim_k \int_E |f_{n_k}|^p d\mu \leq \int_E (|f_{n_0}|+|g|)^p d\mu < \infty

Donc la suite (f_{n_k})_k converge vers f dans L^p par le TCD.

Par ailleurs :

|f_{n_k}(x) - f(x)|^p\rightarrow 0~~\mu-pp

|f_{n_k}(x) - f(x)|^p \leq |f_{n_0}(x)+f(x)|^p\leq \underbrace{(f_{n_0}(x)+g(x)+f(x))^p}_{\in L^1 \text{ et indépendant de }k}

Donc \int_E |f_{n_k}-f|^p d\mu \rightarrow 0 c'est-à-dire ||f_{n_k} - f||_p \rightarrow 0

Conclusion : la suite (f_{n_k})_k converge vers f dans L^p et simplement vers f presque partout.

8/ Je ne suis pas sur qu'il soit obligatoire d'utiliser le lemme de Fatou, car de la suite de Cauchy (f_n)_n on a trouvé une sous-suite convergente vers f, donc toute la suite est convergente vers f dans L^p(\mu)..

Posté par
Hakinov
re : Théorème de Riesz-fischer 05-12-19 à 16:44

Bonsoir merci pour ton aide concernant ii) du théorème je peux partir de ça |U(nk)-U| a la puissance p tend vers 0 quand n tend vers l'infini je prend la norme de ||f-fnk||= intégrale sur omega de|f-fnk|du≤integrale de la somme alant de i=o jusqu'à l'infini de|Un|du en suite la permutation entre l'intégrale et la limite =la somme de i=o à l'infini ||f-fnk|| p≤ à la somme 1/2^p ensuite la limite nous donne ||f-fnk|| tend vers . rectifie si y'a des erreurs propose aussi.

Posté par
jsvdb
re : Théorème de Riesz-fischer 06-12-19 à 08:56

Pour 2/, y'a pas à se prendre la tête : la suite (g_k)_k est une suite croissante de fonctions positives mesurables.

Donc la suite (|g_k|^p)_k l'est aussi et converge vers |g|^p.

Conclusion par le Théorème de Convergence Monotone :

- |g|^p est mesurable (en tant que limite simple d'une suite de fonctions mesurables, pas besoin du TCM)

- \int_E |g|^pd\mu {\red =} \lim_{k}\int_E |g_k|^pd\mu \in \bar \R (et non comme je l'ai annoncé.)

Ensuite, l'inégalité de Minkowski permet de préciser que \int_E |g|^pd\mu \in \R

Posté par
Hakinov
re : Théorème de Riesz-fischer 08-12-19 à 23:30

Merci pour votre aide.



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