Bonjour

Si tu prends pour tu as |g(z)|=2. Où est le problème?

On trouve pas plutôt |g(z)| = 3 dans ce cas là ?

En effet! Faute de frappe!

Ok bah du coup mon problème c'est que dans ce cas là g(z) n'a pas de 0 dans le disque fermé et en appliquant le théorème de Rouché f(z)-z n'a pas de de 0 non plus, et en prenant g(z) = z+1 qui a un zéro dans le disque unité on se retrouve avec f(z)-z a un zéro

En gros mon problème c'est qu'en changeant le g(z) en question le résultat est différent .. il ne devrait pas être le même quelque soit g(z) ?

quelque soit g(z) vérifiant la condition biensur*

Je crois que je n'ai pas compris ton énoncé. Ce qui est donné est supposée vérifier |f(z)| < 1 sur le cercle unité. On étudie la fonction qui est donc donnée. Tu as le droit de l'appeler , mais ce est donné depuis le début. Changer ce revient à changer la fonction donnée, qui bien entendu n'aura pas les mêmes propriétés que celle donnée.

Bonjour,
je prendrais plutôt g(z)=-z.

Aucune des fonctions g que tu proposes ne vérifie à coup sur la condition :
|f(z)-z-g(z)|<|g(z)| quelque soit z de module 1.

J'ai mal énoncé mes termes je vais réécrire plus clairement :
|f(z)| < 1,  pour trouver les points fixe de f(z) on étudie les zéros de g(z)=f(z)-z.

Pour appliquer le théorème de Rouché il s'agit donc de trouver une 3 ème fonction, appelons la K(z), tel que |g(z)-K(z)|<|K(z)|(1), dans ce cas là on aurait que g(z) aura le même nombre de zéro que K(z). Voilà comment je raisonne donc : ce K(z) n'est pas donné, il s'agit de le trouver pour appliquer le théorème de Rouché, or différentes fonctions vérifiant la l'inégalité (1) donnent différent résultats.

Ou alors le k(z) en question doit il toujours être dans l'expression de g(z) ? (dans ce cas là on choisirait k(z)=z).
Au fait ce qui me dérange c'est que rien ne nous empêche de prendre un k(z) tant qu'il vérifie l'inégalité et de ce que j'ai compris en tout cas ça n'a aucune incidence sur le nombre de 0 de g(z)...

Désolé de sembler un peu lent et en vous remerciant de vos multiples réponses.

Les fonctions que tu as proposées ne vérifient pas (1) quelque soit z de module 1.

On a différents résultats parce que les hypothèses du théorème ne sont pas vérifiées.
Par exemple si k(z)=z+1 et |z|=1 il est faux de dire que |k(z)|=2.
On le voit facilement en prenant z=-1.

Bonjour !

On peut déjà commencer à répondre méthodiquement selon des critères que l'on connaît déjà :

par hypothèse, on sait que sur le cercle unité.

Par conséquent, par le principe du maximum, on a l'existence d'un tel que pour tout

On peut donc considérer que f est une application holomorphe du disque unité dans lui-même.

1- Supposons .

Alors on sait sans ce cas que que et que s'il y a existence d'un w tel que alors f est une rotation du disque.

Conclusion : si on a un point fixe autre que 0, alors c'est l'identité et tous les points sont fixes.

Mais cela ne colle pas avec le fait que pour tout : donc pas de point fixe par rotation et seule l'application nulle convient.

2- avec alors f n'a qu'un point fixe sous réserve que

3- supposons et f n'est pas constante.

Cette fois s'il y a un point fixe, alors f est un automorphisme du disque, savoir avec

Mais avec la condition que pour tout , il n'y aura pas d'automorphisme et donc pas de point fixe.

Conclusion : la seule façon d'avoir une fonction avec un point fixe avec la condition donnée sera d'être constante.

A étudier également : le cas des homothéties dont le centre se trouve dans le disque.