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Niveau seconde
theoreme de sophie germain
Posté par mathilde1 (invité)
Bonjour !
Pouvez vous m aider à demontrer le theoreme de Sophie Germain qui dit que pour tout nombre entier a superieur à 1 , le nombre a4+4 n' est pas premier .
Merci =)
Bonjour.
a4 + 4 = (a4 + 4a² + 4) - 4a² = (a² + 2)² - (2a)² type A² - B².
On factorise :
a4 + 4 = (a² - 2a + 2)(a² + 2a + 2) : produit de deux entiers.
Regardons si l'un des deux ne vaut pas 1.
a² - 2a + 2 = 1 donne (a - 1)² = 0, impossible car a > 1
a² + 2a + 2 = 1 donne (a + 1)² = 0, impossible car a > 1.
Conclusion : pour a > 1, a4 + 4 n'est jamais premier.
Cordialement RR.
Posté par mathilde1 (invité)re : theoreme de sophie germain
Désolée mais je ne comprends pas la fin du raisonnement , apres la factorisation . Pourriez vous m expliquer ?
Merci =)
Nous avons vu que a4 + 4 = (a² - 2a + 2)(a² + 2a + 2). Les deux éléments du produit de droite sont des entiers au moins égaux à 2. (J'ai montré qu'ils ne prennent pas la valeur 1 dès que a > 1). Cela veut dire que aV=4 + 4 est le produit de deux entiers > 1, donc n'est pas premier.
Cordialement RR.