Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. SecondeForum de Maths Seconde GéométrieTopics traitant de géométrie [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau seconde
Partager :

théorème de varignon

Posté par
marrrf 23-01-16 à 14:09

Soit 4 points du plan A,B,C et D.
I,J,K et L sont les milieux respectifs des côtés [AB],[BC],[CD]et[AD]du quadrilatère ABCD.

Partie A : Conjoncture
ouvrir un logiciel de géométrie dynamique.
1)Faire une figure.
2)Déplacer les points A,B,C ou D. Que peut-on conjecturer ?
Pour la démontrer, on choisit de définir un repère et d'exprimer les coordonnées des points dans ce repère.

Partie B : un cas particulier
Soit le repère (A;B,D). Dans cette partie, les points sont disposés comme sur la figure ci-dessous, aux nœuds du réseau.
1)Donner les coordonnées des points A,B,C et D.
2)Calculer les coordonnées des milieux I,J,K et L.
3)Démontrer la conjecture de la partie précédente dans ce cas particulier.

Partie C : cas général
Soit le repère (A;B,D) et on note (a;b) les coordonnées du point C dans ce repère.
1)Calculer les coordonnées des milieux I,J,K et L en fonction de a et b.
2) Démontrer la conjecture.

Partie D : sans coordonnées
Comment pouvait-on démontrer ce théorème sans utiliser les coordonnées ?
svp merci

Posté par
marrrfre : théorème de varignon 23-01-16 à 14:12

Qui pourrai m'aider? Svp

Posté par
heklare : théorème de varignon 23-01-16 à 14:15

Bonjour

quelle est votre conjecture ?
quelles sont les coordonnées de A, B, C et D ?

Posté par
marrrfre : théorème de varignon 23-01-16 à 14:19

Théorème de varignon
les points on la place comme on veut car on devra les deplacer

Posté par
marrrfre : théorème de varignon 23-01-16 à 14:30

vous pouvez m'aidez svp

Posté par
heklare : théorème de varignon 23-01-16 à 14:35

  pour la figure  de la partie A  oui vous les placez comme vous voulez .

que pouvez-vous dire du quadrilatère IJKL ?  

dans la partie B non les coordonnées des points A B C et D sont données

Posté par
geo3re : théorème de varignon 23-01-16 à 14:42

Bonjour
par le théorème des milieux  IJKL est un parallélogramme  dont les côtés sont // aux diagonales du quadrilatère  ABCD
et
aire ABCD = 2*aire IJKL
A+

Posté par
marrrfre : théorème de varignon 23-01-16 à 14:46

hekla IJKL est un parrallélogramme

Posté par
marrrfre : théorème de varignon 23-01-16 à 14:47

geo3     je n'ai pas besoin de l'air

Posté par
marrrfre : théorème de varignon 23-01-16 à 14:47

la partie A je l'ai faite

Posté par
marrrfre : théorème de varignon 23-01-16 à 14:49

la partie B aussi sauf la 3

Posté par
heklare : théorème de varignon 23-01-16 à 14:54

puisque vous avez les coordonnées des points I, J, K, K

écrivez les coordonnées des vecteurs \vec{IJ} et \vec{LK}
l'égalité prouvera que IJKL est un parallélogramme

Posté par
marrrfre : théorème de varignon 23-01-16 à 14:57

on a pas fait de cours sur les coordonnées de vecteurs

Posté par
marrrfre : théorème de varignon 23-01-16 à 14:59

je voudrais juste de vous m'aidiez dans la partie B question 3)svp

Posté par
heklare : théorème de varignon 23-01-16 à 15:00

N'avez-vous pas vu

\vec{AB}\quad \dbinom{x_B-x_A}{y_B-y_A} ?

Posté par
marrrfre : théorème de varignon 23-01-16 à 15:02

non

Posté par
marrrfre : théorème de varignon 23-01-16 à 15:06

comment on démontre  dans le cas particulier?

Posté par
Glapion Moderateurre : théorème de varignon 23-01-16 à 15:07

utilise juste le théorème des milieux pour montrer que IJ est parallèle à AC et que KL est parallèle à AC aussi. tu n'as pas besoin de coordonnées ni de vecteurs.

tu en déduis que IJ est parallèle à KL et de même JK est parallèle à IL.
tu conclus en disant qu'un parallélogramme qui a ses cotés opposés parallèles est un parallélogramme.

Posté par
heklare : théorème de varignon 23-01-16 à 15:07

comment ont été définies les coordonnées des points ?

Posté par
heklare : théorème de varignon 23-01-16 à 15:09

Bonjour Glapion  cela est la partie D  
c'est sûr que c'est bien plus simple ainsi

Posté par
marrrfre : théorème de varignon 23-01-16 à 15:09

avec une figure sur le sujet

merci glapion

Posté par
marrrfre : théorème de varignon 23-01-16 à 15:10

ah daccord

Posté par
mathafou Moderateurre : théorème de varignon 23-01-16 à 15:11

Bonjour,

sans vecteurs, la conjecture sera prouvée partie B3 et partie C2 en prouvant que le milieu de IK et le milieu de JL sont le même point.
la seule formule à connaitre est alors les coordonnées du milieu (cours)

le théorème de la droite des milieux c'est pour la partie D

Posté par
marrrfre : théorème de varignon 23-01-16 à 15:11

ok merci

Posté par
marrrfre : théorème de varignon 23-01-16 à 15:18

pour la partie C3 on fait comment?

Posté par
heklare : théorème de varignon 23-01-16 à 15:20

vous n'avez pas donné de C3

la démonstration de la conjecture se fait de la même façon qu'en B3  
les diagonales ont même milieu

Posté par
Glapion Moderateurre : théorème de varignon 23-01-16 à 15:20

ha oui pardon, j'avais lu trop vite l'énoncé. Les coordonnées sont imposées.

Posté par
marrrfre : théorème de varignon 23-01-16 à 15:22

C2 pardon

Posté par
marrrfre : théorème de varignon 23-01-16 à 15:25

comment on fait pour la C2 et pour la D

Posté par
marrrfre : théorème de varignon 23-01-16 à 15:30

svp

Posté par
heklare : théorème de varignon 23-01-16 à 15:33

vous avez les coordonnées de I, J, K et L
les diagonales sont [IK] et[JL]
quelles sont les coordonnées du milieu de [IK] du milieu de [KL] ?  
bien entendu elles dépendront de a et b

Pour D  voir 15: 07

Posté par
marrrfre : théorème de varignon 23-01-16 à 15:43

ca c'est pour la partie B

Posté par
heklare : théorème de varignon 23-01-16 à 15:49

non  à la partie B vous avez C (1~;~1)

à la partie C vous avez C (a~;~b)

la méthode reste la même

Posté par
mathafou Moderateurre : théorème de varignon 23-01-16 à 15:52

la partie B et la partie C se résolvent exactement de la même façon
sauf que la partie B est "en numérique" (avec des valeurs numériques)
alors que la partie C est "en littéral" (avec des coordonnées qui sont définies par des lettres)
mais le calcul est très exactement le même

depuis la 5ème on "découvre" que on fait avec des lettres exactement les mêmes calculs qu'avec des chiffres

et on insiste d'année en année là dessus jusqu'à ce que ça rentre.

Posté par
marrrfre : théorème de varignon 23-01-16 à 15:53

oui mais comment on démontre je n'ai pas compris

Posté par
marrrfre : théorème de varignon 23-01-16 à 16:00

après qu'on a trouver les coordonnées de milieu IK et milieu Jl on fait quoi?

Posté par
marrrfre : théorème de varignon 23-01-16 à 16:03

avec a et b

Posté par
heklare : théorème de varignon 23-01-16 à 16:03

vous devez constater que ce sont les mêmes
par conséquent vous avez montré que le quadrilatère  IJKL dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme

Posté par
marrrfre : théorème de varignon 23-01-16 à 16:07

oui mais comment? avec les lettres

Posté par
marrrfre : théorème de varignon 23-01-16 à 16:09

M(I[/sub[sub]k diviser par2 ; IK/2)

Posté par
heklare : théorème de varignon 23-01-16 à 16:10

vous vous dites que c'est un nombre comme un autre  c'est certainement plus simple qu'avec \dfrac{\sqrt{7}}{31}

Posté par
marrrfre : théorème de varignon 23-01-16 à 16:12

on dira que Ik et JL ont le meme milieu?

Posté par
heklare : théorème de varignon 23-01-16 à 16:14

on le prouvera

Qu'avez vous trouvé pour les coordonnées de I ? de K ?

Posté par
marrrfre : théorème de varignon 23-01-16 à 16:15

I(0.5;0)
K(0.6;1.7)

Posté par
heklare : théorème de varignon 23-01-16 à 16:20

les coordonnées de K sont en fonction de a et b

K \quad x_K= \dfrac{x_C+x_D}{2}=\dfrac{a+0}{2}\qquad y_K=\dfrac{y_C+y_D}{2}=\dfrac{b+1}{2}

Posté par
habire : théorème de varignon 07-11-16 à 10:40

est-ce possible dans la partie B3 de calculer IJ; KL; KJ et IL pour montrer que les côtés opposés sont égaux et que c'est donc un parallélogramme ?

Posté par
Glapion Moderateurre : théorème de varignon 07-11-16 à 11:11

ben oui, c'est ce qui est demandé.

Posté par
habire : théorème de varignon 07-11-16 à 11:18

merci !

Posté par
habire : théorème de varignon 07-11-16 à 11:47

comment je peux faire le C1 ?

Posté par
Glapion Moderateurre : théorème de varignon 07-11-16 à 12:40

Donc on est dans le repère (A;B,D) et on note (a;b) les coordonnées du point C dans ce repère.
donc A(0,0) B(1,0) C(a,b) D(0,1)
trouve les coordonnées des milieux IJKL (par exemple I(1/2,0) etc ...
puis les coordonnées des vecteurs IJ et LK ainsi que JK et LI et tu devrais trouver qu'ils sont égaux deux à deux.


Rechercher
Menu
Espace membre
36 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1723 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !