Salut,
étudie les polynômes et
(mêmes racines,mêmes degrés...puis étude des coefficients constants)
sauf erreurs.

ou bien étudie le groupe Z/pZ* ou p premier...(cyclique d'ordre ...)

sauf erreurs.

Bonsoir,

essaye de regarder dans Z/pZ le produit d'un élément par son inverse

ps : Wilson est une équivalence pour un entier >1

il faut voir mes entiers 1,...,p-1 comme étant des classes dans Z/pZ...
(et bonsoir Lolo)

bonsoirRobby

bon merci
j'arrive à le montrer à l'aide du polynome P
P=(x-k)
d'apres les relations entre coefficients et racines d'un polynome k= -1
càd (p-1)!+1=O[p] ??? mais pour l'autre sens??

si  n  n'est pas premier il s'écrit   n=ab  avec  a et b différents de  1,  si  a  différent de  b  ,  (n-1)! =1x2...a...b ....est multiple de n.
si n =a^2  je te laisse finir

pour l'autre sens, (n-1)!=1.....(n-2)(n-1)=-1[n]
comme -1 est toujours inversible dans Z/nZ (d'inverse -1) tu montres que Z/nZ est un corps(ou un anneau integre...) et donc n sera premier...
sauf erreurs.

merci robby et lolo
bon tout simplement si
(p-1)!+1=0[p]
càd p/(p-1)!+1=0[p]
soit k tel que k/p
alors k/(p-1)!
donc k/(p-1)!+1-(p-1)! donc k/1
donc k=1
d'ou p est premier
mais j'ai besoin de l'autre methode de robby qui faire intervenir les corps et les annaux
et la j'ai pas bien compris la methode de lolo

sauf  erreurs bien sur

moi j'ai pas bien compris ta méthode...

pour ma part,
on travaille dans Z/nZ.
par hypothèse, (n-1)!=-1[n]
donc (n-1)! est inversible dans Z/nZ car -1 l'est d'inverse lui-même.
ainsi, il existe un k tel que 1.2.3....(n-2).(n-1).k=1 et ainsi,chaque élément 1,2,3,..(n-2),(n-1) est inversible dans Z/nZ donc tout élément non nul est inversible d'ou Z/nZ est un corps donc n est premier.
sauf erreurs.

ben ce que tu as fait est correct (préciser que  k<p )

disons que ma méthode c'est juste pour prouver que si  n  n'est pas premier  (n-1)!  = 0  modulo n  (et donc pas  -1)

merci  à vous