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théorème des gendarmes

Posté par
smir 27-08-23 à 14:08

Soient  f , g et h des fonctions définies sur un intervalle I et a un réel fini ou infini

Si ∀ x ∈ I∶ h(x)≤f(x)≤g(x) et   lima⁡ g=lima⁡ g=L  alors   lima⁡ f=L
(limite en a de h=L et lim en a de g=L alors lim en a de f=L)

Ma question
J'ai vu dans un ouvrage on dit que que L ∈ R  et dans un autre ouvrage que L est quelconque.
Je voudrais savoir est ce que L peut être infini

Posté par
Camélia Correcteurre : théorème des gendarmes 27-08-23 à 14:55

Bonjour

il y a des variations pour L infini.
Que penses-tu du cas où pour x assez grand on a h(x)\leq f(x) et \lim_{x\to a}h(x)=+\infty?
Vois-tu d'autres possibilités?

Et si on regarde des limites quand x tend vers \pm\infty?

Posté par
smirre : théorème des gendarmes 27-08-23 à 15:44

pour  h(x)\leq f(x) et \lim_{x\rightarrow a}h(x)=+\infty

alors \lim_{x\rightarrow a}f(x)=+\infty

Mais j'ai vu cet exemple dans un ouvrage

f(x)=2x+1-3sinx
Après encadrement : 2x-2\leq f(x)\leq 2x+4
Et ils ont écrit :
\lim_{x\rightarrow -\infty}2x-2=-\infty \; \; \: et\; \lim_{x\rightarrow -\infty}2x+4=-\infty

Donc d'après le théorème des gendarmes :
\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty
Est ce que cette conclusion est exacte

Posté par
GBZMre : théorème des gendarmes 27-08-23 à 15:53

Bonjour,
La conclusion est exacte, mais comme l'a déjà fait remarquer Camelia, dans ce cas un seul gendarme suffit : le gendarme 2x+4 dans l'exemple.
Le deuxième gendarme est un peu idiot et ne sert à rien, mais comme on le sait les gendarmes vont toujours par paire.

théorème des gendarmes


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