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Niveau Licence Maths 1e ann
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Théorème des restes chinois

Posté par
mehdicament
25-12-21 à 19:29

Bonjour,
L'énoncé du théorème des restes chinois dit que dans un système les modulos doivent être premiers entre eux, or je suis dans le cas suivant:
x = 2 (mod 18)
x = 8 (mod 45)

Est-ce que l'on pourrait m'aider à résoudre ce problème ?
Merci d'avance

Posté par
Mateo_13
re : Théorème des restes chinois 25-12-21 à 19:58

Bonjour,

x \equiv 2 \pmod {18} donc x = 2 + 18k
x \equiv 8 \pmod {45} donc x = 8 + 45k'

Peux-tu trouver des k et des k' qui conviennent ?

Cordialement,
--
Mateo.

Posté par
mehdicament
re : Théorème des restes chinois 25-12-21 à 20:07

J'obtient: 2+18k = 8+45k' <=> 6k-15k'=2
or pgcd(15, 6) = 3, donc pas de solutions ?

Posté par
Mateo_13
re : Théorème des restes chinois 25-12-21 à 20:14

6k - 2 = 15 k'

Les multiples de 15 sont : 15 ; 30 ; 45 ; 60 ; 75 ; 90 ; etc...
Les (multiples de 6)  - 2 sont : 4 ; 10 ; 16 ; 22 ; etc...

Y aura-t-il un nombre commun aux deux listes ?

Posté par
mehdicament
re : Théorème des restes chinois 25-12-21 à 20:23

On a 30 de commun.

Posté par
Razes
re : Théorème des restes chinois 25-12-21 à 20:54

Bonsoir,

6k - 2 = 15 k', donc: 3 (2k - 5 k')=2 . Que peux tu dire?

Posté par
mehdicament
re : Théorème des restes chinois 25-12-21 à 21:03

2k - 5k' = 2k'' car 3 et 2 sont premiers entre eux

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Théorème des restes chinois 25-12-21 à 22:39

Pourquoi ne pas avoir exploité ceci ?

mehdicament @ 25-12-2021 à 20:07

J'obtient: 2+18k = 8+45k' <=> 6k-15k'=2
or pgcd(15, 6) = 3, donc pas de solutions ?
6k -15k' est un multiple de 3.
Alors que 2 n'est pas un multiple de 3.

Posté par
mehdicament
re : Théorème des restes chinois 26-12-21 à 09:49

Cela impliquerais donc que 2k-5k' est un multiple de 2

Posté par
mehdicament
re : Théorème des restes chinois 26-12-21 à 09:55

Mais j'ai l'impression qu'il n'y a pas de solutions vu que 8 et 45 ne sont pas premiers entre eux alors 2 et 8 devraient être congru modulo pgcd(45, 8) or ce n'est pas le cas.

Posté par
GBZM
re : Théorème des restes chinois 26-12-21 à 10:04

Bonjour,

Tu avais déjà la réponse ici : Théorème des restes chinois
J'ai l'impression que les questions suivantes t'ont déstabilisé.

L'impossibilité pouvait se voir dès le début : s'il existe un entier x tel que x = r\pmod a et x = s\pmod b et si d est pgcd de a et b, alors nécessairement r=s \pmod d.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Théorème des restes chinois 26-12-21 à 10:46

Bonjour,
Pour moi, cet exercice n'a rien à voir avec le théorème des restes chinois.
Dans le message du 25 à 20h07, on "tombe" sur
6k-15k'=2
C'est impossible car 6k-15k' est un multiple de 3 et 2 n'est pas un multiple de 3.

Si ce n'est pas assez clair : 6k-15k' = 3(2k-5k')



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