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Théorème des valeurs intermédiaire
Bonsoir,
Soit f une fonction définie et continue sur [0;1] telle que f0)
f(1)
Montrer 
c 
]0;1[ : 2024 f(c)+2025f(1-c)=4049f((c)1/3).
J'ai tout tenté : théorème des valeurs intermédiaire ou les taux d'accroissement en dessinant une figure pour m'inspirer en vain.
J'ai observé 4049=2024+2025 mais je suis vraiment bloqué.
Merci de m'orienter.
Bonjour,
Quelques pistes :
- f atteint son minimum et son maximum sur [0,1] en xm et xM avec xm#xM.
- donc si on pose g(x)=2024 f(x)+2025f(1-x) - 4049f((x)1/3) alors on devrait pouvoir montrer que g(xm³)>0 et g(xM³)<0
Étrangement je n'ai pas besoin de f(0)#f(1), mais seulement que f est non-constante. Il y a peut-être un détail qui m'échappe...
Merci de nous tenir au courant
Bonne journée
Bonjour,
- donc si on pose g(x)=2024 f(x)+2025f(1-x) - 4049f((x)1/3) alors on devrait pouvoir montrer que g(xm³)>0 et g(xM³)<0
En me relisant, je me dis que le point difficile sera de montrer que ces inégalités sont strictes, ce qui pourrait expliquer la nécessité de l'hypothèse f(0)#f(1).
Bonjour,
Tu peux appliquer le théoreme des valeurs intermédiaires à la fonction g donnée par thetapinch27 sur l'intervalle fermé borné (0;1) en utilisant la remarque de Sylvieg ( merci à eux).
Bonjour,
essai :
g(0)=2025(f(1)-f(0))
g(1)=(-)2025(f(1)-f(0)).
Donc g(0)×g(1)<0 (ne peut être égal à 0 d'après les données, puisque f est continue g l'est aussi .
D'après le théorème des valeurs intermédiaires : existe au moins un c tel que 0<c<1 .
Merci.
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