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théorème des valeurs intermédiaires
Bonjour est ce que quelqu'un uarait un lien d'une démonstration assez simple complète et qui s'écrit rapidement du théorème des valeurs intermédiaire qui pourrait se rédiger lors d'un oral 1 de CAPES car lé démo que j'ai est complexe et beaucoup trop longue. Merci d'avance
Saloute
La démonstration la plus naturelle que j'ai en tête est de considérer .
Il existe une suite d'élément de cet ensemble convergeant vers c (La borne supérieure d'un ensemble est adhérente à celui-ci).
On en déduit que pour tout n, . Par passage à la limite et continuité de f :
De l'autre côté,
On en déduit qu'il existe une suite de ]c,b] convergeant vers c.
Mais par définition de c, aucun élément de ]c,b] n'est dans notre ensemble de départ, ie, pour tout n :
Et par passage à la limite
On joint les deux bouts, on a bien
Si tu veux une preuve très rapide :
L'image d'un connexe par une application continue est connexe. Les connexes de R sont les intervalles. CQFD 
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