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Théorème des valeurs intermédiaires

Posté par
ianou
30-10-16 à 00:25

bonjour,

j'ai cet exercice à faire sur le théorème des valeurs intermédiaires mais je ne suis vraiment pas sur de mon raisonnement et de mes réponses.
Un grand merci si vous pouvez m'aider.

1) On donne le tableau de variation d'une fonction f

x             -1                           7
                      décroît
f(x)         2                            -3

justifier que l'équation f(x)=0 a une unique solution dans l'intervalle [-1;7]

2) Soit f la fonction définie sur [0;3]par f(x) = x3 - 10
a) justifier que f est strictement croissante sur [0:3]
b) démontrer que l'équation f(x)=0 a uns seule solution dans [0;3]
c)calculer f(2) et f(3)
En déduire un encadrement de par deux entiers.

3) avec la calculatrice, on a obtenu le tableau de valeurs  suivantde la fonction f du 2)
Donner un encadrement d'amplitude 0.1  de la solution de l'équation f(x)=0

X                 Y

2                -2
2.1           - 0.739
2.2             0.648
2.3             2.167
2.4             3.824
2.5             5.625
2.6             7.576


J'ai fait:


1) f(-1) et f(7) sont de signe contraire, alors il n' existe qu'un seul réel f(x) =0

2)
a) le coefficient directeur est positif ,alors x3 reste positif.

b) f(x)=0
     x3 -10 =0
     x3 =10
      x  = 310
      x 2.15

c) f(2) = 23  -10 = -2      
     f(3= = 17
2x3

3)2.1f(x)2.2

J'ai vraiment des doutes sur mes résultats
Merci de bien vouloir m'aider

Posté par
fenamat84
re : Théorème des valeurs intermédiaires 30-10-16 à 00:32

Bonsoir,

1) Cela ne justifie en rien la question !!
Que dit le théorème des valeurs intermédiaires ? Peux-tu me l'énoncer ?

Posté par
ianou
re : Théorème des valeurs intermédiaires 30-10-16 à 02:02

Théorème des valeurs intermédiaires
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et a et b deux réels de cet intervalle. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c)=k.
Si f est continue et strictement monotone sur [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique réel c compris entre a et b tel que : f(c)=k.


Donc dans le cas présent comme f est monotone sur [0;3] alors il existe un unique [vert][vert]réel compris dans l'intervalle [0;3][/vert]

Posté par
ianou
re : Théorème des valeurs intermédiaires 30-10-16 à 02:09

DESOLE fenamat84 je n'ai pas eu le temps de te salué et te remercier j'aifait une mauvaise manipulation

Est ce que cette nouvelle réponse est correcte?
les questions 2 et 3 sont-elle bien traitées?

Merci de bien vouloir m'aider

Posté par
Taiga
re : Théorème des valeurs intermédiaires 30-10-16 à 02:14

Salut Salut
2) a) b)Je te conseille de faire d'étudier les variations de f.

b) tu peux à nouveau utiliser le corrolaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Posté par
Taiga
re : Théorème des valeurs intermédiaires 30-10-16 à 02:16

Oups j'ai oublié des mots...

En gros:
*faire un tableau de variations après avoir étudié la fonction f.

Posté par
ianou
re : Théorème des valeurs intermédiaires 30-10-16 à 05:39

Salut Taiga et merci

qu'est ce que te entends par étudier la fonction
ce que j'ai mis plus haut ne convient pas?

TABLEAU DE VARIATION

x                   0                                                     3
                                      croissant                17
f(x)            -10       


pour le 2b) il faut bien  résoudre l'équation?

les autres résultats sont ils bons
Merci c'est la panique je ne sais comment rédiger cet exercice

J'ai vraiment besoin d'aide Merci d'avance
                                                  

Posté par
fenamat84
re : Théorème des valeurs intermédiaires 30-10-16 à 12:12

Je reprends la question 1 :

Citation :
Donc dans le cas présent comme f est monotone sur [0;3] alors il existe un unique [vert]réel compris dans l'intervalle [0;3]


Ta justification est incomplète !! Tu oublies des hypothèses !!
f est monotone sur [0;3]... : ce n'est pas l'intervalle [0;3] mais l'intervalle [-1;7] !!
En particulier ici , f est strictement décroissante sur l'intervalle [-1;7].

Mais tu as oublié de mentionner les autres hypothèses de ton TVI !!Tout d'abord :
1) Est-ce que f est continue sur l'intervalle [-1;7] ?? Oui, c'est ici le cas. Il n'y a pas de cassure entre cet intervalle.

2) Enfin l'hypothèse "pour tout réel k compris entre f(a) et f(b)" !! Dans notre cas, est-ce qu'on a bien 0 compris entre f(7) et f(-1) ?? Ben oui, car f(7) = -3 et f(-1)=2 !! Donc 0 est bien compris entre -3 et 2 !

A présent toutes les hypothèses sont réunies !! Et là tu appliques le TVI : l'équation f(x)=0 admet alors une unique solution dans l'intervalle [-1;7].

Question 2a :
f est bien dérivable sur l'intervalle [0;3] et on obtient f'(x)=3x².
En étudiant rapidement le signe de f', on en déduit qu'elle est bien positive sur [0;3].
Par conséquent, f est bien strictement croissante sur [0;3].

2b) Même principe que la question 1 !!
TVI en vérifiant bien que tu as toutes les hypothèses pour pouvoir l'appliquer.

2c) Ok. On a bien f(2)=-2<0 et f(3)=17>0.
Par conséquent : 23. (C'est qu'on encadre !! Pas x...

3) Idem !! C'est qu'on encadre !! Pas f(x) !!

Posté par
fenamat84
re : Théorème des valeurs intermédiaires 30-10-16 à 12:15

En résumé pour appliquer le TVI, tu as 3 choses à vérifier :
1) La monotonie sur l'intervalle donné.
2) La continuité sur l'intervalle donné.
3) Vérifier si le réel k est bien compris entre f(a) et f(b) !! (avec comme intervalle de départ [a;b]).

Posté par
ianou
re : Théorème des valeurs intermédiaires 30-10-16 à 19:48

Bonjour,  
Merci beaucoup fenamat84 j'ai compris, tes explications sont" au  top" .
c'est super sympa d'avoir pris du temps pour m'expliquer la méthode.



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