Bonjour, C'est compliqué ça pour un niveau Terminal. On t'a vraiment posé cet exercice ?

il y a une démonstration qui commence par la fonction h(x) = f(x) -g(x)
et on fait un raisonnement par l'absurde. Qu'est-ce qu'il se passe s'il n'existe pas de c tel que f(c) = g(c) ?
Alors la fonction h(x) ne s'annule jamais. Elle est donc soit positive soit négative (sinon par le théorème des valeurs intermédiaires elle couperait ox).
Prenons le cas positif, elle prend des valeurs entre 0 et 1 et comme la fonction est continue, il y a une plus petite valeur et une plus grande. On les appelles m et M
donc f(x)-g(x) > m > 0 pour tout x ou encore f(x) > g(x) + m
maintenant essaye de montrer par récurrence que ça entraîne que
fⁿ(x) > gⁿ(x) + nm quelque soit n entier et quelque soit x dans [0;1]
ensuite on fait tendre n vers l'infini et on trouve une contradiction.

ha je vois qu'il a été traité sur le site en 2008 Analyse - approfondissement sur un exercice de khôlle

il y a une démo de DOMOREA qui utilise une suite x_n+1 = g(x_n) qui a l'air de tenir la route.

Voir aussi Théorème des valeurs intermédiaires

Merci beaucoup pour votre aide!