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théorème des valeurs intermédiaires

Posté par
bouchaib 03-08-21 à 21:09

Bonsoir,

Soit, f(x)=e^{-x}Ln|1-e^x |.. On me demande son domaine de définition. Ma réponse est *car |1-ex|0 R,
mais x doit être 0 car il y a Ln devant .
après on nous demande si  f(x)=0 sur Df admet-elle une unique solution?
Ma réponse : je dois voir si le théorème des valeurs intermédiaires s'applique à cette fonction(est-elle une bijection?),
pour cela je dois chercher le signe de sa dérivée pour voir sa continuité et sa monotonie puis je passerais voir  le signe du produit des limites de f aux bornes du domaine de définition.
seulement j'ai calé au niveau de la dérivée:
  
       f'(x)=-e^{-x}ln|1-e^{x}|+e^{-x}.\frac{|-e^{x}|}{|1-e^{x}|}
\mid -e^{x}|=e^{x}  pas de souci.
Mais pour  |1-e^{x}| = 1-e^{x}  sur ]-\infty ; 0[
]-\infty ; 0[
        et  -(1-e^{x})    sur  ]0; +\infty [
Je suis bloqué ici .
Merci de me débloquer.




Posté par
lakere : théorème des valeurs intermédiaires 03-08-21 à 21:37

Bonsoir,

Sur \mathbb{R}^*,

   f(x)=0\Longleftrightarrow |1-e^x|=1

Posté par
bouchaibre : théorème des valeurs intermédiaires 03-08-21 à 22:14

merci.
mais le but est de démontrer par T.V.I. qu'elle est unique.
On cherchait pas la solution.

Posté par
bouchaibre : théorème des valeurs intermédiaires 03-08-21 à 22:38

Pardon et aussi ma dérivée pour supprimer les barres de la valeur absolue.

Posté par
bouchaibre : théorème des valeurs intermédiaires 04-08-21 à 00:13

Pardon je dois faire attention à la règle de la dérivée d'une fonction sous la forme (ln|U|). c'est toujours U'/U.
Et donc la dérivée de ma fonction f est :
f'(x)= -f(x)+ \frac{-1}{1-e^{x}} .

Si c'est juste je n'aurais plus de problème à faire le reste.
EST-ce bon?
Merci beaucoup et par avance.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : théorème des valeurs intermédiaires 04-08-21 à 09:49

Bonjour,

Citation :
mais le but est de démontrer par T.V.I.
Qu'est-ce qui te fait penser ça ?
Un énoncé recopié sans y modifier quoi que ce soit, sans des "on nous demande", serait utile.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : théorème des valeurs intermédiaires 04-08-21 à 09:51

Ta dérivée est juste ; mais comment étudier son signe ?

Posté par
ty59847re : théorème des valeurs intermédiaires 04-08-21 à 10:09

Tu parles du Théorème des Valeurs Intermédiaires. Ce théorème est cool, parce que dès qu'on donne le nom du théorème, on comprend de quoi on parle. Le mot 'Intermédiaire' nous dit tout.

Si une fonction est en-dessous d'un seuil A à un endroit x0, et au-dessus de ce seuil A à un autre endroit x1, et si cette fonction est continue, alors il y a au moins un point x2 entre x0 et x1 où cette fonction vaut A. (A est intermédiaire entre les 2 valeurs connues, et x2 est intermédiaire entre x0 et x1). Et dans certains cas, on peut aussi conclure que ce point est unique.

Et donc, est-ce que ce théorème s'applique ici ?

Posté par
bouchaibre : théorème des valeurs intermédiaires 04-08-21 à 13:02

Merci. j'ai compris.  Il est difficile de déterminer le signe de la dérivée de f ici.
il m'a fallu dire (et voir!)  que la solution de f(x)=0 est unique et c'est celle qu'a écrite M.lake  auparavant.
Merci
  

Posté par
ty59847re : théorème des valeurs intermédiaires 04-08-21 à 13:08

Lake n'a pas dit que la solution était unique ... seul toi dis ça.  
Tu en es sûr ?
Vérifie bien ton raisonnement, étape par étape.

Lake ne parlait pas de la dérivée ; la dérivée est inutile ici.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : théorème des valeurs intermédiaires 04-08-21 à 13:33

@ty59847,
Je trouve aussi une unique solution.

@bouchaib,
Peux-tu détailler ta démonstration pour qu'on puisse vérifier qu'elle est correcte ?

Posté par
bouchaibre : théorème des valeurs intermédiaires 04-08-21 à 17:23

f(x)=0 \Leftrightarrow |1-e^{x}|=0 car :

\forall e^{x}\neq0     donc     Ln|1-e^{x}|=0 \Leftrightarrow |1-e^{x}|=1  donc    \left\lbrace\begin{matrix} 1-e^{^{x}}&= &1 \\ 1-e^{x} &= -1 & \end{matrix}\right. ,

1-e^{x}=-1 \Rightarrow x=Ln2 ou  1-e^{x}=1 \Rightarrow e^{x}=0 impossible .

donc cette équation possède une unique solution dans R.
Merci par avance.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : théorème des valeurs intermédiaires 04-08-21 à 17:36

Posté par
Sylvieg Moderateurre : théorème des valeurs intermédiaires 04-08-21 à 17:38

Une coquille : Il manque un ln à la 1ère ligne

Posté par
ty59847re : théorème des valeurs intermédiaires 04-08-21 à 20:00

Oups.  Je pensais que tu avais oublié ln(2) ... et c'est en fait la seule solution.

Posté par
bouchaibre : théorème des valeurs intermédiaires 04-08-21 à 20:53

Je suppose que c'est bon.
Merci de votre accompagnement.


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