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Théorème des valeurs intermédiaires avec suites

Posté par
Hm67
13-11-17 à 20:09

Bonsoir à tous. J'ai un DM à rendre pour mercredi et je bloque sur deux questions d'un exercice qui le voici:
On considère une fonction continue sur [0;+oo[. On donne ci dessous le tableau de variation de f.
x      0    2    +oo
                1
              /  \
            /      \
f(x) 0          0
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
1. Montrer que l'équation f(x)= 1/n admet 2 solutions notées Un et Vn appartenant respectivement aux intervalles ]0;2[ et ]2;+oo[
2. Montrer sur la suite (Un) est décroissante. Que peut on en déduire?
3. Étudié le comportement de la suite (Vn)  lorsque n tend vers +oo.
Pour la 1 pas de problème c'est à partir du 2 que je bloque. J'ai essayé de faire Un+1-Un mais sans succès. Un grand merci pour toute aide.

Posté par
carpediem
re : Théorème des valeurs intermédiaires avec suites 13-11-17 à 20:20

salut

u_n est la solution de quelle équation ?
u_{n + 1} est la solution de quelle équation ?

Posté par
Hm67
re : Théorème des valeurs intermédiaires avec suites 13-11-17 à 20:42

Bonsoir. Un est solution de l'équation f(x)=1/n ou f(Un)=1/n donc je suppose que Un+1 est solution de l'équation f(Un+1)=1/n+1 .

Posté par
carpediem
re : Théorème des valeurs intermédiaires avec suites 14-11-17 à 00:04

à quoi servent les parenthèses ?

et comment sont rangés 1/n et /(n + 1) ?

Posté par
Hm67
re : Théorème des valeurs intermédiaires avec suites 14-11-17 à 08:47

Autant pour moi pour les parenthèses.
1/(n+1)<1/n

Donc f(Un+1)<f(Un).

Posté par
carpediem
re : Théorème des valeurs intermédiaires avec suites 14-11-17 à 18:35

pourquoi ?

Posté par
Hm67
re : Théorème des valeurs intermédiaires avec suites 14-11-17 à 18:40

Je sais pas vraiment comment justifier cela mais on peut prendre l'exemple de 1/2 et 1/2+1 , plus on divise un nombre grand par 1 plus le résultat sera petit et de rapprochera de 0.

Posté par
carpediem
re : Théorème des valeurs intermédiaires avec suites 14-11-17 à 18:43

mon pourquoi s'adresse à ta conclusion évidemment !!!

et tu ne connais toujours pas les parenthèses ...

Posté par
Hm67
re : Théorème des valeurs intermédiaires avec suites 14-11-17 à 18:53

Là pour la peine les parenthèse n'étaient si importantes que ça quand même...
Sinon f(Un+1)<f(Un) car Un+1correspond a l'expression de 1/(n+1) et Un a l'expression générale soit 1/n .
J'ai trouvé ça je ne sais pas si ça marche comme justification:
Comme f est strictement croissante sur ]0;2[ et que Un et Un+1 appartiennent à cet intervalle on peut en déduire que Un+1<Un. Ainsi pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a Un>Un+1 d'où la suite (Un) est strictement décroissante et on peut finalement en déduire qu'elle est convergente et minorée par 0.
Merci pour la compréhension.

Posté par
carpediem
re : Théorème des valeurs intermédiaires avec suites 14-11-17 à 19:42

oui c'est ça ...

Citation :
Là pour la peine les parenthèse n'étaient si importantes que ça quand même...
n'importe quoi ...

et si je te mets 2 au  lieu de 20 ça n'a pas d'importance ? ... vu qu'un 0 c'est nul et ça vaut rien

Citation :
et on peut finalement en déduire qu'elle est convergente et car minorée par 0.

là tu as un exemple de l'importance des parenthèses ...

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