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théoreme des valeurs intermédiaires pour la fonction dérivée

Posté par
tournaud
12-12-18 à 07:46

Soit a une fonction dérivable sur un intervalle I de iR. Soient a et b deux points de I tels que a<b. On suppose que f '(a)<f' (b). Soit c un nombre réel de l'intervalie ]f'(a), f '(b)[.

Posons  
pour x]a,b]  g(x)=(f(x)-f(a))/(x-a)
pour  x[a;b[ h(x)= ((f(x)-f(b))/(x-b)

a)Interpréter géométriquement les fonctions g et h, et montrer qu'elles se prolongent en des fonctions continue sur [a, b]. j'ai pu faire ça
b) Si  c]f'(a) , (f(b)-f(a))/(b-a)[, montrer qu'il existe d dans ]a;b[ tel que g(d) = c  (jai fait ça aussi en appliquant TVI)
Si c] (f(b)-f(a))/(b-a); f'(b)[,  montrer qu'il existe d dans ]a, b[ tel que h(d)=c   (j'ai fait ça aussi à l'aide de TVI)
c) En décuire qu 'il existe s dans ]a, b[ tel que f' (s)=c, et montrer que ce résultat subsiste si f'(a)> f '(c).  je suis bloqué ici
d) Le théorème des valeurs intermédiaires s'applique à la fonction f', mème si elle n'est pas continue. Quel est l'Intérêt pratique de ce résultat  dans la constitution du tableau de variation de f sur I, dans le cas où f' admet un nombre fini de zéros sur I? ( j'ignore cela aussi)
merci d'avance

Posté par
tournaud
re : théoreme des valeurs intermédiaires pour la fonction dérivé 12-12-18 à 07:47

bonjour à tous de l'aide s'il vous plait

Posté par
luzak
re : théoreme des valeurs intermédiaires pour la fonction dérivé 12-12-18 à 08:08

Bonjour !
2. Si g(d)=c, avec la formule des accroissements finis tu as un s tel que c=f'(s).
3. L'intérêt c'est que si tu connais les zéros de la dérivée, le signe ne change pas entre deux zéros. L'étude du signe de la dérivée peut donc être remplacée par le calcul du signe en UN point situé entre deux zéros.

Posté par
tournaud
re : théoreme des valeurs intermédiaires pour la fonction dérivé 12-12-18 à 12:42

Merci beaucoup

Posté par
etniopal
re : théoreme des valeurs intermédiaires pour la fonction dérivé 12-12-18 à 16:26

Une utilisation du théorème de Darboux :

   Si y est une des  applications dérivables de vers suivantes :   sin , cos , x 1 , x -1  elle vérifie (y ')² + y² = 1 . On voudrait savoir si ce sont les seules .

   Soit donc f :    dérivable telle que  (f ')² + f² = 1 ,f 1 et f -1 .
   L'ensemble  U où |f|  est < 1  est non vide . Il est aussi ouvert .
Si J est un intervalle ouvert non vide contenu dans U on a f '(x) = s(x)(1 - f²(x))1/2 (où s(x) {-1 , 1} ) pour tout x de J .

   Si s n'était pas constante il existerait  (a,b) dans J² tel que a b et s(a) =- 1 , s(b) = 1 et on aurait  donc f '(a) < 0 < f '(b) . Il existerait  donc c entre a et b tel que f '(c) = 0 . On aurait alors s(c) = 0  en contradiction avec "x J on a :  s(x) = 1 " .
   On a donc , sur J ,   f '/(1 - f²(x))1/2  = {-1 , 1} Il en résulte( que (Arcsin o f )' = donc il existe un réel r tel que Arcsin( f(x)) = (x - r)  et aussi f(x) = sin(x - r) pour tout x de J .
…..

On obtient donc , comme solutions de l'équation différentielle   (y ')² + y² = 1 , outre 1 et -1 toutes les applications   f : , x    sin ( x + )

Mais il y en a encore beaucoup d'autres .



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