À l'aide du théorème des zéros isolés bien entendu

Bonsoir,

Tu essaies de démontrer un résultat faux.

Je m'en doutais bien mais j'ai vu dans une preuve on évoque un pareil résultat.
Donc si je comprends bien cela n'est vrai que dans un compact ?

Oui.

Ok et comment montrer  donc que les zéros d'une fonction holomorphe sont en nombre fini à l'intérieur d'un ensemble contenu dans un domaine de C ?? J'ai besoin de cette finitude des zéros pour la résolution d'un exercice

Tu n'as forcément pas besoin d'un résultat faux pour la résolution de ton exercice.
Donne nous plutôt ton énoncé, avec ce que tu as fait.

Ok se donne Omega un domaine de C. Soit f une fonction meromorphe dans  Omega et S un ouvert borné de Omega dont la frontière est de classe C¹ par morceaux et tel que f n'a pas de pôle et de zéros sur le bord de S . Soit Nf et Pf les nombres de zéros et de pôles dans S comptés avec leur nombre de multiplicité
On veut montrer que


(1/2πi) intégrale de (f'(z)/f(z))dz sur le bord de S vaut Nf - Pf

Je pose h(z)= f'(z)/f(z) et gamma = bord de S

Alors h est holomophe dans Omega sauf aux zéros et aux pôles de f qui sont donc les seuls sur singularités isolées de h. Et c'est à ce niveau que j'ai besoin de la finitude du nombre de singularités de h à l'intérieur de gamma*.

Or toutes les singularités de h sont des pôles simples(j'ai prouvé cela)
Et puis le Res(h,zk) = nk ou -nk selon que zk est un zéro d'ordre nk de f ou zk est un pôle d'ordre nk de  f
Et comme pour tout z à l'intérieur de gamma*  Ind(gamma)(z) = 1 en appliquant le théorème des résidus  et en manipulant quelques sommations on aboutit aisément au résultat donc mon soucis réside au niveau de la finitude des singularités de h car il faut que ça pour terminer ma preuve dans cette logique
Voilà un peu la situation
Merci pour vos futurs commentaires

Et une fois le problème résolu j'aimerais savoir ce que signifie cette formule

Ton énoncé n'est pas très précis, mais implicitement on suppose que le bord de l'ouvert borné est contenu dans , autrement dit que le compact adhérence de dans est contenu dans . Donc a un nombre fini de pôles et de zéros dans , et l'énoncé suppose qu'ils sont tous contenus dans .

D'accord merci je vois donc il faudrait absolument que la frontière de S soit contenue dans  Omega

Puisque est définie dans , quel sens cela aurait d'intégrer sur le bord de si ce dernier n'est pas contenu dans ?

Oui c'est vrai je n'avais pas prêté attention à ça il faut effectivement que le bord de S soit dans Omega pour que cette intégrale est un sens
Merci

J'oubliais svp qu'est-ce que signifie  cette formule intuitivement ?

Tu peux regarder ce qu'est pour et .

, c'est la dérivée logarithmique de . Son intégrale sur un circuit est la variation de l'argument.

Je comprends pas bien l'expression intégrale sur un circuit

Et quand je dis que je veux savoir que représente cette formule c'est par rapport aux nombre de zéros et de pôles Nf et Pf
Merci

Le circuit, c'est la courbe fermée simple donnée par le bord du domaine borné S. Et la formule te dit que l'intégrale de la dérivée logarithmique de f le long de ce bord est égale a 2*pi*i fois le nombre de zéros moins le nombre de pôles de f dans S.

D'accord merci bien

Donc ça vaut 2πi

C'est un   fois un entier. Savoir quel multiplede , ça dépend de et de !