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Theoreme du point fixe
Bonjour, un exercice me propose d'etudier le théoreme du point fixe et il me pose quelques difficultés :
Soit E un espace de Banach, A une partir fermee de E et f une application de A dans A telle qu'il existe une constante k
[0,1[ vérifiant 
x,yA ||f(x) - f(y)||
k||x-y||
1) soit x0A et la suite (xn) définie par xn+1=f(xn).
Montrer que n,p
:||xn+p-xn||[kn/(1-k)]||x1-x0|| et en deduire que la suite (xn) converge vers un point fixe r de f.
2)Montrer que f admet un unique point fixe dans A.
Merci d'avance !
Bonsoir, pour la 1) je crois qu'il faut que tu fixes n, et que tu fasses une récurrence sur p, pour montrer l'inéglité.
Ensuite tu montres que lorsque n tend vers , alors le membre de droite de l'inégalité tend vers 0, ce qui te permettra de dire que la suite
est de Cauchy, donc convergente puisqu'on est dans un espace de Banach (=> complet).
merci romu, j'avais pensé à la récurrence mais j'ai du mal a démontrer "l'hérédité", j aimerais montrer que :
||xn+p+1-xn||||xn+p-xn|| pour ensuite appliquer mon hypothese mais je ne vois pas bien comment m'y prendre ...
Ensuite pour la 2) il faut supposer que f admet deux points fixe et montrer que ceux ci sont egaux ?
Merci !
Alors :
Avec :
Tu remplaces, et tu n'as plus qu'a calculer la somme des termes d'une suite géométrique.
Ensuite, tu majores une toute dernière fois et tu trouves le résultat.
A toi ! 
oui c'est vrai il y a un point à préciser à ce niveau là, je dois m'absenter, je regarderai ça un peu plus tard, tu peux regarder sur wiki en attendant, il y a du moins le plan de la démo.
Ne pas oublier aussi à la fin du 2) de montrer que la limite de
est un point fixe, ie
.
Pour l'unicité, oui il faut procéder comme ça.
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