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Théorie de la mesure, intégrale de Lebegues
Bonjour à tous, j'ai besoin de votre aide pour répondre à ces questions. Je connais le cours mais je n'arrive pas à trouver la suite de fonction qui fonctionne :
1. Dans toutes ces questions, λ désigne la mesure de Lebesgue sur R.
a) Soit f une fonction intégrable sur [0, 1].
i) Trouver une suite de fonctions (fn)n≥0 intégrables sur [0,1] qui converge sim- plement vers f mais telle que l'intégrale sur [0,1] de fn dλ ne converge pas vers l'intégrale sur [0,1] de fdλ.
ii) Peut-on trouver une telle suite (fn)n≥0 si on suppose de plus que fn converge
uniformément vers f ? Justifier.
iii) Et si on suppose à la place que la suite (fn)n≥0 converge simplement vers f de
manière croissante ? Justifier.
Merci pour votre aide et bonne journée !
Bonjour,
Pour 1) il suffit d'ajouter à f une suite de fonctions fn qui convergent vers 0 sur [0;1] mais pas uniformément, et dont l'intégrale sur [0,1] est non nulle.
Par exemple, fn(x) = n sur [0 ; 1/n[ et 0 sur [1/n ; 1] convient.
A valider par les experts du sujet 
Bonjour à vous deux,
lytar, ton profil indique 1re année et tu postes en 2e/3e année ...qu'en-est-il ? je penche pour une erreur dans ton profil...peux-tu rectifier s'il te plaît
merci
Bonjour à vous deux,
lytar, ton profil indique 1re année et tu postes en 2e/3e année ...qu'en-est-il ? je penche pour une erreur dans ton profil...peux-tu rectifier s'il te plaît
merci
Bonjour malou, en effet je n'avais pas vu que je m'étais trompé, je viens de rectifier !
malou edit > merci !
En fait ça n'est pas bon, fn ne converge pas vers 0 en x = 0
Je continue à chercher
D'accord merci beaucoup !
Bonsoir, je n'ai pas su m'aider de votre idée mais je pense avoir trouver quelque chose:
Je prends fn(x)=1/n(x+1)
fn(x)——>0=f(x) quand n tend vers +oo
Mais Intégrale de 0 à 1 de fn diverge par riemann donc tend vers +oo
Or intégrale de 0 à 1 de f est égale à 0 car f=0
Donc pas convergence des intégrales
Ton exemple ne marche pas (je suppose que c'est ?). L'intégrale de 0 à 1 de
est
.
Les fonctions dont j'ai dessiné le graphe répondent à la question. Qu'est-ce que tu ne comprends pas dans cet exemple ?
C'est une fonction linéaire par morceaux, avec les morceaux [0,1/(2n)], [1/(2n), 1/n] et [1/n,1].
Il n'y a pas besoin d'expression explicite pour calculer l'intégrale sur [0,1] (l'aire sous le graphe) !
Très bien j'ai compris et j'ai aussi réussie la question ii
Avez vous une piste pour la derniere question ?
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