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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Théorie de la mesure, intégrale de Lebegues

Posté par
lytar
13-12-20 à 10:04

Bonjour à tous, j'ai besoin de votre aide pour répondre à ces questions. Je connais le cours mais je n'arrive pas à trouver la suite de fonction qui fonctionne :

1. Dans toutes ces questions, λ désigne la mesure de Lebesgue sur R.
a) Soit f une fonction intégrable sur [0, 1].

i) Trouver une suite de fonctions (fn)n≥0 intégrables sur [0,1] qui converge sim- plement vers f mais telle que  l'intégrale sur [0,1] de fn dλ ne converge pas vers l'intégrale sur [0,1] de fdλ.

ii) Peut-on trouver une telle suite (fn)n≥0 si on suppose de plus que fn converge
uniformément vers f ? Justifier.

iii) Et si on suppose à la place que la suite (fn)n≥0 converge simplement vers f de
manière croissante ? Justifier.

Merci pour votre aide et bonne journée !

Posté par
LeHibou
re : Théorie de la mesure, intégrale de Lebegues 13-12-20 à 10:49

Bonjour,

Pour 1) il suffit d'ajouter à f une suite de fonctions fn qui convergent vers 0 sur [0;1] mais pas uniformément, et dont l'intégrale sur [0,1] est non nulle.
Par exemple, fn(x) = n sur [0 ; 1/n[ et 0  sur [1/n ; 1] convient.
A valider par les experts du sujet

Posté par
lytar
re : Théorie de la mesure, intégrale de Lebegues 13-12-20 à 11:10

Merci de votre réponse mais je n'ai pas trop compris.. pouvez vous détaillez svp?

Posté par
LeHibou
re : Théorie de la mesure, intégrale de Lebegues 13-12-20 à 11:14

En fait ça n'est pas bon, fn ne converge pas vers 0 en x = 0
Je continue à chercher

Posté par
malou Webmaster
re : Théorie de la mesure, intégrale de Lebegues 13-12-20 à 11:29

Bonjour à vous deux,
lytar, ton profil indique 1re année et tu postes en 2e/3e année ...qu'en-est-il ? je penche pour une erreur dans ton profil...peux-tu rectifier s'il te plaît
merci

Posté par
lytar
re : Théorie de la mesure, intégrale de Lebegues 13-12-20 à 12:04

malou @ 13-12-2020 à 11:29

Bonjour à vous deux,
lytar, ton profil indique 1re année et tu postes en 2e/3e année ...qu'en-est-il ? je penche pour une erreur dans ton profil...peux-tu rectifier s'il te plaît
merci


Bonjour malou, en effet je n'avais pas vu que je m'étais trompé, je viens de rectifier !

malou edit > merci !

Posté par
lytar
re : Théorie de la mesure, intégrale de Lebegues 13-12-20 à 12:35

LeHibou @ 13-12-2020 à 11:14

En fait ça n'est pas bon, fn ne converge pas vers 0 en x = 0
Je continue à chercher


D'accord merci beaucoup !

Posté par
GBZM
re : Théorie de la mesure, intégrale de Lebegues 13-12-20 à 14:37

Bonjour,

Penser à une fonction dont le graphe fait une pointe de base 1/n et de hauteur n.

Posté par
lytar
re : Théorie de la mesure, intégrale de Lebegues 13-12-20 à 18:40

Je n'ai pas compris..?

Posté par
GBZM
re : Théorie de la mesure, intégrale de Lebegues 13-12-20 à 19:09

Un dessin ?

Théorie de la mesure, intégrale de Lebegues

Posté par
lytar
re : Théorie de la mesure, intégrale de Lebegues 15-12-20 à 17:09

Bonsoir, je n'ai pas su m'aider de votre idée mais je pense avoir trouver quelque chose:
Je prends fn(x)=1/n(x+1)
fn(x)——>0=f(x) quand n tend vers +oo
Mais Intégrale de 0 à 1 de fn diverge par riemann donc tend vers +oo
Or intégrale de 0 à 1 de f est égale à 0 car f=0
Donc pas convergence des intégrales

Posté par
GBZM
re : Théorie de la mesure, intégrale de Lebegues 15-12-20 à 17:27

Ton exemple ne marche pas (je suppose que c'est f_n(x)=\dfrac1{n(x+1)} ?). L'intégrale de 0 à 1 de f_n est  \dfrac1n\,\ln(2).
Les fonctions f_n dont j'ai dessiné le graphe répondent à la question. Qu'est-ce que tu ne comprends pas dans cet exemple ?

Posté par
lytar
re : Théorie de la mesure, intégrale de Lebegues 15-12-20 à 17:52

ce que je ne comprends pas c'est comment écrire explicitement fn

Posté par
GBZM
re : Théorie de la mesure, intégrale de Lebegues 15-12-20 à 18:11

C'est une fonction linéaire par morceaux, avec les morceaux [0,1/(2n)], [1/(2n), 1/n] et [1/n,1].
Il n'y a pas besoin d'expression explicite pour calculer l'intégrale sur [0,1] (l'aire sous le graphe) !

Posté par
lytar
re : Théorie de la mesure, intégrale de Lebegues 15-12-20 à 21:12

Très bien j'ai compris et j'ai aussi réussie la question ii
Avez vous une piste pour la derniere question ?

Posté par
GBZM
re : Théorie de la mesure, intégrale de Lebegues 15-12-20 à 22:35

Ne connais tu pas de théorème qui parle d'une telle situation ?

Posté par
lytar
re : Théorie de la mesure, intégrale de Lebegues 15-12-20 à 22:47

Le théoreme de convergence monotone ?

Posté par
GBZM
re : Théorie de la mesure, intégrale de Lebegues 16-12-20 à 08:51

Et alors ?

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