Bonjour,

Je m'intéresse actuellement à la théorie des jeux dans le cadre d'une appli informatique. Je n'ai jamais touché à ce pan de l'économie alors si quelques-uns d'entre vous pourraient m'aider à résoudre deux exos que j'ai déniché, ce serait très sympa.

Exo1:
Considérez le jeu à deux joueursoù les ensembles de stratégies sont S1=S2= et où les fonctions d'utilité sont données par:

u1(x,y)=x(y-x)
u2(x,y)=y(1-x-y)

Caractérisez et représentez graphiquement les correspondances de meilleures réponses et le(s) équilibre(s) de Nash en stratégies pures.

là je pensais calculer les maxs des deux fonctions et déterminer leurs intersections qui devraient  correspondre aux équilibres de Nash. Si c'est la bonne méthode, pas besoin de développer l'exo.

Exo2:
Un objet est mis aux enchères. Tout acheteur potentiel i{1,...n} attribue une valeur v_i à l'objet. Sans perte de généralité, supposons que v1>v2>....>vn>0. Le mécanisme d'attribution de l'objet est une enchère sous pli scellé: les acheteurs potentiels soumettent simultanément une offre (un nombre positif), soumise dans une enveloppe cachetée. L'objet est alloué au plus offrant (s'il en existe plusieurs, l'objet est attribué au joueur ayant l'indice le plus faible parmi ceux qui ont fait l'offre la plus élevée) en échange d'un paiement. Dans l'enchère au premier prix, ce paiement est égal à son offre. Dans l'enchère au second prix, le gagnant paye l'offre la plus élevée parmi l'ensemble de tous les autres joueurs.

1. Ecrivez une enchère au premier prix et une enchère au second prix comme un jeu sous forme normale. Peut-on appliquer le théorème d'existance d'un équilibre de Nash en stratégies pures? en stratégie mixtes?
Dans la suite on ne considère plus que des stratégies pures.

2. Considérez l'enchère au premier prix. Existe-il une stratégie faiblement/strictement dominante? Montrer que le joueur 1 gagne l'enchère à tous les équilibres de Nash. Caractérisez ces équilibres.

3.Considérez l'enchère au second prix. Existe-il une stratégie faiblement/strcitement dominante? Montrez qu'il existe un équilibre de Nash où le joueur 1 gagne l'enchère. Montrer cependant qu'il existe des équilibres de Nash inefficaces où le gagnantn'est pas le joueur 1.

Là par contre, je pige rien.

Voilà tout. Si je trouve qqun qui maîtrise la théorie des jeux, j'essaierais de poster d'autres exos qui me posent problème. Mais avant tout, je voudrais comprendre ces deux-là. Merci d'avance