Bonsoir 10000007.
Tu peux nous dire de quel théorème de point fixe tu parles ? Et nous l'écrire ... merci bcp !

Ok donc  soit  (E ,d) un espace métrique complet et une application f  de E E tq
k€]0,1[ (x,y)€E^2 d(f(x),d(f(y))k d(x,y)
Il existe un unique x de E tq f(x)=x

Ici, l'inégalité large n'est pas exigible.
Si tu prends k' tel que k < k' < 1 alors l'inégalité devient stricte (même si elle peut encore s'écrire de façon large) et la conclusion est la même.
Inversement, si l'égalité est stricte pour un certain k ]0;1[ alors il est bien évident que tu peux la changer en une inégalité large pour le même k sans changer la conclusion.
On se moque donc bien que l'inégalité soit large ou stricte.
En revanche, il est hors de question de prendre k = 0 ou k 1.

Pour k = 1, prendre pour contre-exemple l'application f de dans muni de sa distance usuelle et telle que f(x) = x + 1.
Cette application vérifie |f(x) - f(y)| = |x-y| et ne possède pas de point fixe.

Mieux encore, tu peux considérer une fonction g possédant les caractéristiques suivantes :
- continue.
- strictement convexe.
- strictement croissante.
- limite nulle en -.
- g(x) > x
- Lim (g(x) - x) = 0 en +
Alors elle vérifie |g(x) - g(y)| < |x-y| et pour aucun k ]0;1[ elle ne vérifiera |g(x) - g(y)| < k.|x-y| pour tout x,y . Elle n'a pas de point fixe.

Ok merci jsdbv

Euh ! Bonjour jsvdb !
Pour tu obtiens une fonction constante (au moins localement) et ...

Bonjour luzak.
Tu as raison, pour k = 0, on obtient bel et bien une fonction constante qui admet un point fixe (résultat qui est d'ailleurs vrai dans n'importe quel ensemble).