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TICE-Géométrie

Posté par
PimentOiseau
20-04-17 à 16:15

Bonjour à tous, j'ai un petit souci avec un problème où l'on me demande de résoudre un exercice selon différents niveaux (seconde,1ère s et TS).

Je vous mets l'énoncé et ensuite mon avancement,

Énoncé :

Dans un repère orthonormal de centre O, on considère les points A(10;0) et I(0;a) où a est un paramètre strictement positif, ainsi que la demi-droite [Ax) parallèle à l'axe des ordonnées.
M est un point variable du segment [OA]. On construit le triangle IMN rectangle en M, avec N appartenant à [Ax).

Le but de l'activité est de déterminer, si elles existent, la ou les positions du point M telle que cette aire soit maximale

Première Partie :

Construire la figure avec un logiciel de géométrie dynamique.

Deuxième Partie : cas où a=5

Déplacer le point M sur [OA] et observer les variations de l'aire du triangle MIN.
Conjecturer.
Répondre à la question posée. Justifier.

Troisième Partie : vers une généralisation

Pour différentes valeurs du paramètre a, observer les variations de l'aire du triangle MIN.
Donner une conjecture sur ces variations.
Justifier les variations de l'aire pour une valeur quelconque de a



Les deux premières parties sont données à une classe de seconde et une de première S.

Seconde :

Personnellement, je n'ai pas grand chose sur cette partie, à part l'utilisation des logiciels de géométrie dynamique permettant de conjecturer que l'aire maximale serait de 25 pour M(5,0) ( ou M(0,0) )

Première S :

Dans cette partie, plus de possibilité, dans un premier temps en fixant M(x,0).
Et avec le produit scalaire (qu'ils ont normalement vu) IM.IN=0 car il y a orthogonalité, on trouve que N(10;2x - x2/5)

Ensuite une première piste serait d'utiliser la formule Aire=1/2(IM*MN) mais je me retrouve avec une expression assez désagréable à l??il(je trouve).
Une deuxième piste serait de partir sur l'aire du trapèze OINA moins l'aire des deux triangles ( IMO et AMN) ce qui nous amène a :
A(x)=-\frac{1}{10}x^3 +x^2 -\frac{5}{2}x +25
Puis étude du minimum et normalement ça passe.

Mais déjà je trouve ces deux pistes un peu compliquées, est -ce qu'il y en a des plus simples, je ne pense pas.

On aurait aussi pu poser comme variable l'angle IMO
d'où IM=5/cos(x)
OM= 5/tan(x)
AM=10 - 5/tan(x)
d'où MN=\frac{10-\frac{5}{tan x}}{sin x}
et après A(x)=IM*MN/2
Mais je suis pas complètement sur de moi sur ce coup et je trouve pas ça plus simple.

Terminale S

On nous demande de proposer la correction de la troisième partie comme on l'exposerait à cette classe.

J'utiliserais la méthode AireTrapèze moins AiresTriangles en sachant que j'ai le paramètre en plus mais la "méthode générale" est la même.


Alors j'aurais voulu savoir si ce que je proposais niveau méthode était bon et si vous en aviez d'autres. Spécialement sur la partie où on place l'angle en variable parce que j'ai pas l'impression qu'un première S y arrive à moins que l'on ne lui donne quelques pistes et là encore je trouve ça balaise.

Pour la troisième partie, je rédigerais ça plus tard donc pas trop la peine de vous attarder dessus.

Merci en avance d'avoir tout lu et encore un plus grand merci à ceux qui m'apporteront leurs contributions.

Sur ce bonne journée

malou > j'ai modifié le forum, il me semble que tu as plus besoin d'avis d'enseignants que d'autre chose...

Posté par
verdurin
re : TICE-Géométrie 21-04-17 à 21:53

Bonsoir,
une première remarque : il est, à mon avis, maladroit d'appeler [A,x) une droite parallèle à l'axe des y. Je pense que dans une classe cette notation poserait problème. Mais c'est peut-être une bonne occasion pour parler du statut des notations en mathématique.

Pour la suite, je ne suis plus vraiment au courant des programmes. Il faut donc vérifier soigneusement ce que je dis.

Pour les coordonnées de N : les droites de coefficients directeurs respectifs r et -1/r sont perpendiculaires. Est ce encore connu en seconde ?

Pour l'aire, je crois que la méthode trapèze moins triangles rectangles est la seule accessible en première.
On peut éventuellement voir avec la trigo dans le cadre d'une étude dédié à la trigonométrie, je n'ai pas essayé de faire les calculs pour voir à quoi ils ressemblent.
La méthode par le calcul de IM et MN me semble demander une « virtuosité » en calcul hors de porté de la quasi totalité des élèves de première.
Mais c'est peut-être une bonne occasion pour utiliser un logiciel de calcul formel.

Posté par
mathafou Moderateur
re : TICE-Géométrie 22-04-17 à 09:21

Bonjour,

calcul de l'aire par des moyen "élémentaires" (hum)

j'appelle b l'ordonnée de N
H le point (10; a)
Pythagore donne
IN² = 10² + (b-a)², IM² = a² + x², MN² = b² + (10-x)²
la condition pour que IMN soit rectangle est IN² = IM² + MN²
10² + (b-a)² = a² + x² + b² + (10-x)²
après développement et simplification
-2ab = 2x² - 10x et donc ab = x(10 - x) d'où b = x(10 - x)/a

le carré de l'aire donne 4S(x)² = IM².MN² = (a² + x²)[x²(10-x)²/a² + (10-x)²] = (a²+x²)[(10-x)²(x²+a²)/a²] = (a²+x²)²(10-x)²/a²

le piège était ici de ne surtout pas développer mais au contraire de factoriser.

d'où on tire en ces quelques lignes de calcul S(x) = (a²+x²)(10-x)/(2a)

le niveau de connaissances requis ne me semble pas particulièrement élevé vu que seul Pythagore et les identités remarquables sont nécessaires.

il n'y avait pas à mon sens besoin de logiciel de calcul formel pour obtenir ça !
mais je pense aussi comme verdurin que ce calcul n'est pas à la portée des élèves "moyens" sans être guidé par une succession de questions.

ensuite on fait ce qu'on veut de cette expression là : étude graphique, tableau de valeurs, dérivées, étude "en fonction de a" etc ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : TICE-Géométrie 22-04-17 à 09:30

* -2ab = 2x² - 20x (faute de frappe en pensant à la ligne d'après)

Posté par
PimentOiseau
re : TICE-Géométrie 22-04-17 à 10:00

Merci pour vos réponses, effectivement je n'avais pas du tout pensé à la factorisation.
Après je ne suis pas encore prof donc pour savoir ce qui est au niveau j'ai un peu de mal.
Après l'étude des variations se fait sans trop de soucis, c'est la partie la plus simple je trouve.

Je vous embête un petit plus, si vous êtes d'accord.

Pour la version avec l'angle IMO comme variable,
en essayant de faire IM*MN/2 j'arrive à un truc avec du sinus^3 au dénominateur donc soit je me suis planté soit j'ai encore loupé un chemin plus simple soit c'est pas au niveau.

J'ai donc essayé en calculant Atrapeze et soustrayant les aires des deux triangles.
Si il n'y a pas d'erreur je trouve que

S(x)=\frac{5}{tan(x)}(10-\frac{5}{tan(x)})+25-\frac{25}{2tan(x)}-\frac{1}{2}(10-\frac{5}{tan(x)})^2(\frac{1}{tan(x)})

S(x)=-\frac{1}{2*tan^3(x)}+\frac{1}{tan^2(x)}-\frac{1}{2tan(x)}+25

(sauf erreur de ma part)

Et la je fais quoi en première ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : TICE-Géométrie 22-04-17 à 11:06

quelques remarques d'ordre purement géométrique (c'est à dire préhistorique).

TICE-Géométrie

j'ai ajouté quelques points et éléments dont la définition tombe sous le sens (j'ai déja défini H précédemment)


OK = AN et OM' = AM donne immédiatement la relation (puissance de O par rapport au cercle circonscrit à IMN, très certainement disparue de tous les programmes) :
OI.AN = OM.AM = x(10-x)

cette relation était trop belle pour ne pas avoir une idée géométrique sous-jacente.

en coupant en deux triangles de bases MP, l'aire de MPI = aire de MPO et aire de MPN = aire de MPA
donc l'aire de IMN est égale à l'aire de OAP
OA étant constant, cette aire est donc proportionnelle à MP, ça n'avance pas à grand chose mais permet par exemple de visualiser les variations de cette aire par la trace de P

le calcul de MP est par contre simple dans son principe !
en appelant toujours b = AN on a (Thalès)
MP = a + \dfrac{x(b-a)}{10} et en remplaçant b = \dfrac{x(10-x)}{a}
MP = a + \dfrac{x}{10}\left(\dfrac{x(10-x)}{a} -a\right) = \dfrac{10a^2 +x\left(x(10-x)-a^2\right)}{10a}
 \\ 
 \\        = \dfrac{10a^2 + x^2(10-x) - xa^2}{10a} = \dfrac{a^2(10-x) + x^2(10-x)}{10a} = \dfrac{(a^2+x^2)(10-x)}{10a}

ne pas s'égarer dans le développement et factorisation.

et l'aire S(x) = \dfrac{1}{2}OA.MP = \dfrac{(a^2+x^2)(10-x)}{2a}
etc

Posté par
mathafou Moderateur
re : TICE-Géométrie 22-04-17 à 11:09

je ne pense pas que l'utilisation de la trigo simplifie quoi que ce soit, bien au contraire ...

Posté par
malou Webmaster
re : TICE-Géométrie 22-04-17 à 12:05

Citation :
Pour les coordonnées de N : les droites de coefficients directeurs respectifs r et -1/r sont perpendiculaires. Est ce encore connu en seconde ?

non...
en seconde on a les droites //
l'orthogonalité n'arrive qu'en 1re actuellement....

Posté par
PimentOiseau
re : TICE-Géométrie 22-04-17 à 12:45

Parce que dans l'énoncé de mon exercice,  j'ai de mis "un élève (de seconde ou première) a choisi de poser l'angle IMO comme variable, proposer une correction de la deuxième partie"

Et donc moi je vois pas comment faire à leur niveau et avec l'angle en variable

Posté par
mathafou Moderateur
re : TICE-Géométrie 22-04-17 à 12:54

"On aurait aussi pu poser comme variable l'angle IMO", n'est pas à mon avis la même chose que "un élève a posé" ...
Avec ta formulation initiale c'est toi qui proposais ça

quitter le plus vite possible la trigo en posant u = 1/tan(x)
la fonction tan(x) étant monotone, les variations en fonction de x et celles en fonction de u seront semblables (préciser le sens relatif et les domaines de définition) et on retombe sur l'équation algébrique en x... avec x appelé u.

Posté par
malou Webmaster
re : TICE-Géométrie 22-04-17 à 13:05

à savoir : la fct tan n'est introduite qu'en terminale à l'heure actuelle en France

Posté par
mathafou Moderateur
re : TICE-Géométrie 22-04-17 à 13:18

eh beh, ça ne s'arrange pas

Posté par
alb12
re : TICE-Géométrie 22-04-17 à 19:26

salut,
avec Xcas tu peux faire la figure puis les calculs formels au niveau premiere (derivee/forme canonique)

Posté par
mathafou Moderateur
re : TICE-Géométrie 23-04-17 à 10:32

Nota : j'ai un peu déliré avec mes Pythagore et autres puissances par rapport à un cercle

en fait les deux triangles IOM et MAN étant trivialement semblables (angles) on a instantanément sans calcul

IO/MA = OM/AN et donc AN = x(10-x)/a

Posté par
alb12
re : TICE-Géométrie 23-04-17 à 17:52

@UsersXcas

le script de Geo2d:

assume(a=[5,0,10,0.1]); // (de)cocher symb par clic droit sur le curseur
A:=point(10,0);
I:=point(0,a);
dd:=demi_droite(A,point(10,1),display=bleu+epaisseur_ligne_2+nom_cache);
O:=point(0,0);
supposons(t=[4.5,0,10,0.1]); // (de)cocher symb
M:=point(t,0);
perp:=perpendiculaire(M,droite(I,M),affichage=nom_cache);
N:=inter_unique(perp,dd);
triangle(M,N,I);

un debut de recherche tres imparfait:

purge(a,t)
S:=unapply(aire(triangle(M,N,I)),t)
S'(t)
forme_canonique(S'(t),t) // selectionner les sous expressions pour les simplifier en passant par le menu Scolaire
sol:=resoudre(S'(t)=0,t)
S1:=simplifier(S(sol[0]))
S2:=simplifier(S(sol[1]))
resoudre(S1<S2,a)
seq(graphe((-a^2*t+10*a^2-t^3+10*t^2)*1/2/a,t=0..10,color=64+8a),a,0,10)

Posté par
carpediem
re : TICE-Géométrie 23-04-17 à 20:10

salut

pour revenir à l'intitulé du post : TICE-géométrie :

il semble évident qu'une figure dynamique avec geogebra s'impose pour tous les niveau ...

le cas particulier a = 5 ne me semble guère avoir d'intérêt ...

par contre plus intéressant :

en seconde :

faire un tableau de valeur donnant pour a (par exemple (demi-)entier) variant de 0 à 10 l'aire maximale

bonus : le faire avec le tableur de geogebra et faire tracer la "courbe" obtenue  (sinon à la main c'est aussi intéressant)

notion de point critique (ou "valeur interdite") quand a = 0
notion de courbe "point par point" ... combien de points faut-il pour tracer une courbe, ...
notion de fonction a --> aire et ses variations
notion de géométrie : réviser la géométrie et faire un calcul exact de cette aire et retrouver la formule de l'aire d'un trapèze (un trapèze n'est qu'un rectangle qu'on a découpé en un (ou deux) morceaux) à partir de l'aire d'un rectangle (et éventuellement d'un triangle rectangle (qui n'est lui-même que la "moitié" d'un rectangle))

en première et terminale : aller bien plus au fond des choses avec une résolution complète

de toute manière quand je vois la résolution des collègues cet exercice ne pose "théoriquement" pas de difficulté au lycée ... on peut rêver !!

et comme on ne rêve pas surement ne pas parler de tangente ... même en terminale ...

l'aire du triangle MIN se calcule "aisément" comme la différence entre l'aire d'un trapèze et la somme des aires de deux triangles rectangles et permet de s'entraîner au calcul littéral ... qui est redevenu la consigne de nos inspecteurs maintenant qu'ils se sont rendu compte de la catastrophe ... que tout enseignant savait depuis belle lurette
(certains tout la haut continuent à rêver ... ou plutôt ont cessé de rêver et sont revenus sur terre)

bon en regardant de plus près la figure de l'éminent mathafou je modère mon propos : le "calcul" de N est à  détailler : on peut considérer le rectangle IHNK comme mathafou mais on peut aussi en première et terminale considérer la droite passant par M et perpendiculaire à (IM) et utiliser pas exemple le produit scalaire ...



PS : se rappeler que maintenant savoir donner une solution approchée à l'aide d'outil numérique est une compétence fondamentale !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Posté par
mathafou Moderateur
re : TICE-Géométrie 23-04-17 à 20:52

euh... la fonction à étudier c'est x --> aire, pas a --> aire maximale, a est un paramètre.
même si cette question est intéressante en Terminale ("discussion selon la valeur d'un paramètre")

et comme je l'ai dit dans mon dernier message, le calcul de N se fait en une seule ligne d'écriture (je me refuse à appeler ça du calcul) par les triangles semblables (remis dans les programmes)

le calcul de l'aire n'offre certes pas de difficultés insurmontable quelle que soit la méthode employée
trapèze moins deux triangles me semble effectivement au final le plus simple, quel que soit le niveau

la "difficulté" est de réussir à l'écrire sous une forme "utilisable" !

contrairement à ce que tu dis le cas de la valeur a = 5 n'est pas inintéressant parce que les deux valeurs de x qui donnent le même maximum dans ce seul cas particulier a = 5 est intéressant :
ça ne se trouve pas "comme d'hab" en récitant mécaniquement un faux critère "maximum = dérivée nulle"

Posté par
malou Webmaster
re : TICE-Géométrie 23-04-17 à 20:55

ceux qui sont en seconde/première actuellement ne connaissent pas les triangle semblables....il va falloir attendre la "nouvelle génération ".... je suis désolée mathafou

Posté par
mathafou Moderateur
re : TICE-Géométrie 23-04-17 à 21:06

si on vire la tangente avant de remettre les triangles semblables il devient quasi impossible de faire quoi que ce soit de valable en géométrie sans faire des acrobaties monstrueuses.
on met le doigt sur l'absurdité totale et l'incohérence complète de ces changements de programme.

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