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Tirages

Posté par
flight
24-09-20 à 23:22

Bonsoir

on dispose de n jetons numérotés de 1 à n n on effectue des tirages avec remise de jetons et on s'arrête lorsque le numéro obtenu est déjà apparu dans les tirages précédents .
et on note X la variable aléatoire égale au rang ou le tirage s'arrête .
Que vaut P(X=k)  et l'espérance de X ?

Posté par
GBZM
re : Tirages 20-10-20 à 17:44

Bonjour,

 Cliquez pour afficher

Posté par
LittleFox
re : Tirages 21-10-20 à 11:18


Je suis d'accord avec la réponse de GBZM

Pour l'espérance, je n'ai pas de formule close:

 Cliquez pour afficher


Une approximation raisonnable mais incorrecte est:

E(X) \approx \frac{3 + 5\sqrt{n}}{4}

Posté par
jandri Correcteur
re : Tirages 21-10-20 à 19:39

Bonjour,

on peut démontrer que E(X_n)\sim \sqrt{\dfrac{\pi n}2}

Posté par
flight
re : Tirages 22-10-20 à 20:42

salut

la formule de jandri donne une assez bonne approximation , avec une simulation (10 000 boucles )  j'obtiens un rang moyen de 13

Posté par
flight
re : Tirages 22-10-20 à 20:43

si on fixe n à 100 par exemple

Posté par
flight
re : Tirages 22-10-20 à 20:51

precisement

simulation  n = 100  -->  Rang moyen  = 13,17      formule de jandri  --> 12,52
                          n=50      -->   Rang moyen  = 9.5            formule de jandri  --> 8.86
                          n=20      -->   Rang moyen  = 6.25         formule de jandri  --> 5.60
                          n=10      -->   Rang moyen  = 4.67         formule de jandri  --> 3.96

Posté par
flight
re : Tirages 22-10-20 à 20:55

donc plus n est grand et plus l'ecart de résultat entre la simu et la formule donnée est petit

Posté par
flight
re : Tirages 22-10-20 à 21:01

Quoi que la formule de Littlefox   est pas mal aussi l'approximation me semble meilleure
     valeur de n               simu             formule
        100                          13,17                 13,25
         50                               9,5                     9,58
         20                              6,25                   6,34
         10                              4,67                   4,7                

Posté par
jandri Correcteur
re : Tirages 22-10-20 à 22:01

Bonjour flight,
la formule que j'ai donnée est un équivalent de E(X_n), cela signifie que la limite du rapport \dfrac{E(X_n)}{\sqrt{\dfrac{\pi n}2}} quand n tend vers l'infini est égale à 1.

Pour une meilleure approximation on peut utiliser un résultat plus précis, par exemple :

la limite de  E(X_n)- \sqrt{\dfrac{\pi n}2} est égale à \dfrac23

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