Ce n'est pas clair à deux égards

* on arrête le tirage dès qu'on arrive à 4 où bien il faut aussi compter les zéros ? Si je tire 4 du premier coup, je cesse les tirages ou bien tu veux aussi qu'on compte les issues (4,0), (4,0,0), (4,0,0,0), ... ?

* d'autre part, si je tire 3 puis 2 j'arrive à 5 et je n'atteindrai donc jamais la valeur 4. Cela arrive avec probabilité positive donc espérance infinie


En clair, dans quel univers veux-tu qu'on se place ? Tu veux qu'on travaille avec une chaine de Markov dans un espace d'états infini dénombrable ? Ou seulement dans un un univers particulier à préciser ?

Bonjour Ulmiere

a)oui on arrête les tirages dès que a somme obtenue vaut 4
exemple   "00020000100001" .

b)   oui il existe des cas ou bien sur on depassera la somme a atteindre, mais ce qui nous intéresse c'est la proba d'obtenir une somme de 4 au bout de k tirages .

Permets-moi donc de reformuler l'énoncé

Soit une suite de variables aléatoires iid de loi uniforme sur

Pour tout entier naturel, on note la variable aléatoire avec la convention .

C'est un cas particulier de chaîne de Markov, et plus précisément de marche aléatoire sur . Donc elle a la propriété de Markov (faible) et comme c'est un processus discret, la propriété de Markov forte est automatiquement vérifiée aussi

Une des nombreuses façons de répondre à la question :

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1) Cette marche a-t-elle une mesure stationnaire ?
2) On considère le temps d'atteinte de 4 (partant de 0). Quelle est sa loi ? Est-il intégrable et si oui quelle est son espérance ?

Là j'ai pas trop le temps d'y répondre par contre

Ce que je comprends :

Si on arrive à 5, 6 ou 7, sans passer par 4, on considère qu'on a perdu. Et si on passe à un moment par 4, alors on a gagné.
La partie s'arrête dès qu'on a atteint (ou dépassé) 4.
Quelle est la probabilité de gagner ?
Quelle est la durée moyenne d'une partie ?
Quelle est la durée moyenne d'une partie, si on se limite aux parties gagnées ?