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tirer simultanément deux cartes dans un jeu de 32 cartes

Posté par
sabre000001 29-05-09 à 18:03

Bonsoir
J'ai un exercice à faire sur les probabilités et je pense que ce que j'ai fait est faux.
Pouvez vous m'aider ?

On tire simultanément et au hasard deux cartes d'un jeu de 32 cartes.

1°) Combien y a-t-il de tirages différents ?
2°) Calculer la probabilité de chaque évènement :
A: "On a tiré un roi exactement"
B: "On a tiré au moins un roi"
C: "On a tiré au moins une carte noire"
D: "On a tiré un roi et une carte noire"
3°) Exprimer l'évènement B barre, et calculer sa probabilité.

Ce que j'ai fait :

1°) Il y'a 32 X 31 càd 992 tirages différents.

2°)a)
probabilité de tirer un roi exactement = probabilité de tirer un roi X probabilité de ne pas tirer de roi.
Il y'a 4 rois dans tout le jeu.
probabilité qu'une des deux cartes soit un roi : 1/8
Si la première carte est un roi il n'y aura plus que 3 roi dans le jeu donc
probabilité que la 2nd carte ne soit pas un roi est 28/31

La probabilité de tirer  un roi exactement est 28/256 soit 7/64.

2°)b)On tire 2 cartes donc la probalité de tirer au moins un roi est le double de celle de tiré un roi exactement d'où p(B)=1/4

2°)c) Il y'a 16 cartes noires.
La probabilité que la première carte soit noire est 1/2
Si la première carte tirée est noire la probabilité que la 2nd soit noire est de 15/31
Si la première carte tirée n'est pas noire la probabilité que la 2nd soit noire est 16/31
P(B)= je ne sais pas

2°)d) probabilité de tirer un roi : 1/8
Si le roi tiré est noir, probabilité de tirer une carte noire est 15/31
Si le roi tiré est rouge, la probabilité de tirer une carte noire est 16/31
P(D)= 1/8 + ?????

3°) p(B barre)=1-p(B)=3/4

Merci d'avance de vos réponses.

Posté par
Labore : tirer simultanément deux cartes dans un jeu de 32 cartes 29-05-09 à 18:46

bonjour
un début...
tu prends 2 cartes parmi 32  ,l'ordre des cartes n'a pas d'importance
\(2\\32\) =\frac{32!}{2!30!}=496
exactement un roi
\frac{\(1\\4\)\(1\\28\)}{\(2\\32\)}=\frac{112}{496}=\frac{7}{31}

au moins un roi =
un roi ou deux rois
deux rois
\frac{\(2\\4\)}{\(2\\32\)}=\frac{6}{496}
p=\frac{112}{496}+\frac{6}{496}=\frac{118}{496}=\frac{59}{248}
tu continues...

Posté par
littleguyre : tirer simultanément deux cartes dans un jeu de 32 cartes 29-05-09 à 18:54

Bonjour

Pour "au moins un roi" on peut utiliser aussi l'événement contraire ("aucun roi") et on obtient le résultat donné par labo( , ça faisait longtemps)

Posté par
sabre000001tirer simultanément deux cartes dans un jeu de 32 cartes#msg2466 29-05-09 à 18:55

A quoi correspondent les points d'exclamation et comment faites vous pour trouver le résultats à partir de ces points d'exclamation ?

Posté par
littleguyre : tirer simultanément deux cartes dans un jeu de 32 cartes 29-05-09 à 18:57

Aïe ! Combinaisons et factorielles ne sont pas au programmme de 1ère ...

Posté par
sabre000001tirer simultanément deux cartes dans un jeu de 32 cartes#msg2466 29-05-09 à 18:59

En effet. Comment peut-on y arriver sans utiliser ces factorielles ?

Posté par
Labore : tirer simultanément deux cartes dans un jeu de 32 cartes 29-05-09 à 19:03

bonjour littleguy     
comment faire sans ces notations.... ce n'est pas au programme...

Posté par
littleguyre : tirer simultanément deux cartes dans un jeu de 32 cartes 30-05-09 à 07:23

> sabre000001

- Pour 1) le résultat que tu donnes correspond au nombre de résultats possibles pour deux tirages successifs d'une carte sans remise : une issue de l'expérience est un couple (a,b) où a est la 1ère carte tirée et b la seconde.
Et effectivement ça donne 3231 couples.

Mais ici on considère un tirage sumultané de deux cartes : une issue de l'expérience est donc un sous-ensemble {a,b} où a et b sont les deux cartes tirées (il n'y a plus d'ordre puisqu'on les a tirées simultanément)

On constate ainsi que chaque issue {a,b} de la deuxième expérience correspond à deux issues (a,b) et (b,a) de la première. Il convient donc de diviser par 2 le nombre d'issues que tu as trouvé ; 992/2=496 et on retrouve le résulat de Labo

- Pour 2) c'est pareil : Si c'était des tirages successifs sans remise un arbre conduirait rapidement au nombre d'issues conduisant à "on obtient exactement un roi" :

Soit un roi suivi s'un non-roi, soit un non-roi suivi d'un roi ;
donc (428)+(284) = 224 issues favorables

Mais là encore un tirage simultané impose de diviser par 2 le nombre onbtenu (en effet les "roi de pique suivi du 7 de carreau" et "7 de carreu suivi du roi de pique" sont deux issues pour les tirages successifs mais une seule pour le tirage simultané :"roi de pique et 7 de carreau" ; idem pour tous les autres)

Donc 224/2 = 112 isues favorables pour un tirage simultané de deux cartes.

La probabilité cherchée est donc 112/496 = 7/31

On retrouve là encore le résultat de Labo.

On peut remarquer au passage que la probabilité avec un tirage successif sans remise aurait été la même (224/992=112/496), seuls les dénombrements intermédiaires changent.

En Terminale tu verras les notions de factorielle et de combinaisons qui facilitent notations et calculs (voir post de Labo)

En espérant de pas t'avoir embrouillé davantage.

Posté par
sabre000001tirer simultanément deux cartes dans un jeu de 32 cartes#msg2467 30-05-09 à 14:51



Je pense avoir compris

Je trouve comme résultats :
p(B)=8/31
p(C)=16/31
P(D)=39/62

Quand je fais la somme des probabilités je ne trouve pas 1 donc j'ai dû faire un erreur quelque part mais je ne vois pas où ...

p(B barre)=23/21

Posté par
Labore : tirer simultanément deux cartes dans un jeu de 32 cartes 30-05-09 à 15:17

bonjour,
P(B) =7/31 regarde explications de littleguy
P(C) au moins une carte noire a pour  contraire :aucune carte noire

16 cartes rouges 16 possibilités pour la première  15 pour la seconde  soit 240 possibilités , mais comme l'ordre ne compte pas on divise pas deux 120 possibilités
P(C)=1-120/496=1-15/62=47/62

p(D) "On a tiré un roi et une carte noire"
on prend 1 roi parmi 4  et 1 carte noire parmi 16-2 =14 (pour ne pas avoir deux cartes noires ou deux rois ,il faut enlever les deux rois noirs)
4*14 =64 ,or l'ordre n'a pas d'importance donc 32 possibilités

P(D)=32/496=2/31

3)

Posté par
sabre000001tirer simultanément deux cartes dans un jeu de 32 cartes#msg2467 30-05-09 à 17:49

Est-ce normale que lorsqu'on additionne p(A) p(B) p(C) et p(D) on obtienne un résultat supérieur à 1 ?

3°) p(B barre)=24/31

Posté par
Labore : tirer simultanément deux cartes dans un jeu de 32 cartes 30-05-09 à 18:02


A: "On a tiré un roi exactement"
B: "On a tiré au moins un roi"
C: "On a tiré au moins une carte noire"
D: "On a tiré un roi et une carte noire"
donc la somme des ces probabilités ne peut pas être égale à 1 car les évenements A,B C ou D ne sont pas indépendants..

Posté par
sabre000001tirer simultanément deux cartes dans un jeu de 32 cartes#msg2467 30-05-09 à 18:11

okay j'ai compris
Merci beaucoup pour votre aide littleguy et Labo
Bonne fin de journée et bonne continuation

Posté par
Labore : tirer simultanément deux cartes dans un jeu de 32 cartes 30-05-09 à 18:12

p(\bar{B})=1-P(B)=1-\frac{59}{248}=\frac{189}{248}
autre méthode:
p(\bar{B})=tirer aucun roi
tirages favorables 28*27/2=378
p(\bar{B})=\frac{378}{496}=\frac{189}{248}

Posté par
sabre000001tirer simultanément deux cartes dans un jeu de 32 cartes#msg2467 30-05-09 à 19:07

J'ai encore une question qui me tracasse
Je ne comprends pas pourquoi la probabilité de tirer un roi exactement est égale à la probabilité de tirer au moins un roi.

Pour l'évènement B :
Il y a 4 roi dans le jeu.
On ne tient pas compte des cartes non-roi comme pour l'évènement A car on "peut" tirer 2 roi dans le tirage cette fois si et pas un roi exactement.
Donc le nombre de cas favorable est ((4 X 32)+(32 X 4))/2 = 128

Ce qui donne p(B)=128/496=8/31                (et pas 7/31...)

Pouvez vous m'expliquer comment vous avez fait pour trouver 7/31 pour p(B) ?

Posté par
Labore : tirer simultanément deux cartes dans un jeu de 32 cartes 30-05-09 à 21:07

on n'a pas trouve pour p(B)=7/31 mais pour p(A°

A=tirer exactement un roi
parmi les 32 cartes  4 sont des rois et 28 ne sont pas des rois
tirages favorables
la première est un roi 4 possibilités la seconde 28 possibilités
4*28 =112
ou la première n'est pas un roi 28 possibilités et la seconde est un roi 4 possibilités 28*4=112
mais comme on ne tient pas compte de l'ordre on a 112 possibilités
p(A)=112/496=7/31

B= tirer au moins un roi=tirer un roi ou tirer deux rois

tirer 2 rois
4 rois dans un jeu
4*3=12 mais comme l'ordre n'est pas important
tirages favorables=6
tirage favorable pour tirer UN et Un seul roi 112
d'où tirages favorables pour au moins un roi
112+6=118
p(B)=118/496=59/248


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