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Tle S expo

Posté par mathts (invité) 01-04-05 à 19:01

Prérequis : la fonction exponentielle, notée exp, a les trois propriétés suivantes :
1. exp est une fonction dérivable sur R;
2. sa fonction dérivée, notée exp', est telle que, pour tout nombre réel x, exp'(x) = exp(x) ;
3. exp(0) = 1.
En n'utilisant que ces trois propriétés de la fonction exp, démontrer successivement que :
- Pour tout nombre réel x, exp(x) × exp(-x) = 1 ;
- pour tout nombre réel a et tout nombre réel b, exp(a + b) = exp(a) × exp(b).

Posté par
lyonnaisre : Tle S expo 01-04-05 à 19:36

salut mathts :

1°) soit g(x)=e^x\time e^{-x}

g'(x)=e^x\time e^{-x}+e^{x}\time (-e^{-x})
g'(x)=0

donc g est une fonction constante

d'où g(x)=e^x\time e^{-x}=k  pour tout x, donc c'est vrai pour x=0

<=> e^0\time e^{-0}=k d'où k=1   CQFD

Tu comprends ?

Posté par
lyonnaisre : Tle S expo 01-04-05 à 19:44

je continu ...

2°) posons h(x)=e^{x+b}\time e^{-x}

h est dérivable sur R comme produit et composé de fonction dérivable sur R

h'(x)=e^{x+b}\time e^{-x}-e^{-x}\time e^{x+b}
h'(x)=0

d'où h est une fonction constante.

et h(0)=e^{b}\time e^{0} = e^{b}

donc pour tout réel x et b : e^{x+b}\time e^{-x}=e^{b}

Posons a = x et multiplions de chaque coté par e^{a}

on obtient bien pour tout réel a et b :

e^{x+b}=e^{a}\time e^{b}    car d'après le 1°) e^{a}\time e^{-a}=1

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