Salut titi91

Fixons x quelconque dans G.
Tu pourrais commencer par montrer, par récurrence sur k que :
pour tout k de , k.x G.

Ensuite, il faudra étendre le résultat à ...

merci beaucoup je vais essayer

salut Emma,
j'ai essayé de faire une récurrence mais je n'arrive même pas à prouver le cas de base car comment sait on que 0G??

Salut
en fait tu n'as pas besoin de montrer que 0 appartient au sous groupe, puisque par définition d'un sous groupe non trivial il contient 0 et un autre élément, cependant si tu veux montrer qu'il contient 0.
Tu sais que x apprtient à G
donc x-x=0 appartient à G
Ainsi tu peux montrer la première question par récurrence.

merci beaucoup !!!

encore merci, j'ai enfin réussi la première question mais par contre je bloque tjs pour la seconde question
merci pour l'aide que vous m'apportez

Sauf erreur...

vérifie la propriété de la borne sup' (à savoir toute partie non vide et majorée de admet une borne supérieure).
Cette propriété, tu as dû la voir en cours.

Par contre, je ne sais pas si tu as vu cette autre propriété :
toute partie non vide et minorée de admet une borne inférieure

Si ce n'est pas une propriété du cours, tu peux de toutes façons la démontrer, ou du moins démontrer, de façon générale, que :
si E est un ensemble ordonnée tel que toute partie non vide et majorée de E admet une borne supérieure, alors toute partie non vide et minorée de E admet une borne inférieure.
_{(ça reste un exercice intéressant, à l'occasion )}

Vois-tu pourquoi je parle de cette seconde propriété de _{(comment elle s'applique ici)} ?

@+
Emma

merci beaucoup j'ai enfin réussi ces deux questions mais le truc c'est que je suis complètement à la ramasse et je n'arrive pas non plus le reste cad :
supposons >0:
3/ montrer que est un élement de G⁺ (autrement dit, la borne inférieure de G⁺ est en fait un minimum). On pourra raisonner par l'absurde : montrer qu'il existe g₁, g₂G⁺ tels que <g₁<g₂<2 et conclure.
4/ en déduire que G⁺={n,n*}, puis que G={n,n}. On a donc G=.

Supposons =0 :
5/ montrer que pour tout >0, l'intervalle ]0,[ rencontre G⁺
6/ en déduire que tout intervalle ]a,b[ (avec a>0) rencontre G⁺, puis que tout intervalle ]a,b[ de rencontre de G. On dit alors que G est dense dans .

Merci de m'aider encore une fois.

aidez moi svp je n'y arrive tjs pas

Salut,
si est la borne inf et n'est pas atteinte il existe une suite d'élément de G+ qui tend vers
Ainsi en particulier il existe
tels que
G étant un groupe additif, de plus c'est un terme positif donc dans G+ et il est plus petit qu alpha ce qui est contradictoire avec le fait que alpha soit la borne inf.
On a nécessairement G+ qui contient car  G est un sous groupe, si il y a un élément qui est dans G+ et qui n'appartient pas à appelons le
Alors il existe tel que et tu as alors que ce qui contredit l'hypothèse de minimalité de

Le fait que rencontre G+ provient du fait que 0 est la borne inf donc il y a une limite de point de g qui tend vers 0

merci beaucoup pour ce gros coup de main, mais y'a un truc que je ne comprends pas trop, je comprends que g2-g1G⁺ mais je ne vois pas pourquoi g2-g1 est plus petit qu'alpha

merci encore

bonjour, alors ben moi j'ai deja reussi à faire tte ces question (je supose kon doit avoir le même dm, ou alors c un coup de hasard!) tu serai pas en S4 mias a orsay ?

moi c'est sur ces question la que je bloque:

Application I :
Données:
On dit qu'une fonction f : R -> R est périodique s'il existe un réel
T > 0 vérifiant :
qq soit x € R, f(x + T) = f(x).
Un réel T vérifiant ces propriétés est appelé une période.

Soit f une fontion non constante, périodique et continue. Il existe une période T0 telle que pour toute autre période T, il existe n € N* vérifiant T = nT0.
On pourra s'intéresser à l'ensemble :

Problème:
Si on supprime l'hypothèse de continuité, existe-t-il encore une “plus petite période”
T0 ? Considérer par exemple la fonction indicatrice des rationnels.

Application II :
(i) Soient a € R et b € R* tels que a/b /2 Q. Montrer que l'ensemble :
E = {na + mb , m, n € Z} est dense dans R.

Pour cette quesion j'ai montrer que E etait un ss groupe additif et donc que E= admetait une borne inf, mais je n'arrive pas à montrer ke cette borne inf vaut 0. A priori il faut suposer ke la borne inf (µ) est positif, et montrer ke E ne peut pas être egal à µZ .. mais je ne trouve pas comment faire ...

merci bcp

après encore des heures de reflexions, je trouve tjrs rien ...
ya vraiment personne ki saurai ??? c pour demain!

merci

Un sous groupe additif de R est soit dense dans R, soit cyclique.
Ton groupe n'est pas cyclique, donc ...

bah oui .. mais je le montre comment kil n'est pas cyclique ? c la dessus ke je blok ...

j'suis désolée je suis bien en S4 MIAS à Orsay mais moi j'ai un niveau pitoyable notamment en topologie donc je n'ai pas été jusque heureusement que la date butoir à été repoussé !!!

lol
c cool, si ca se trouve on est ds le même groupe,
euh ben sinon moi je crois ke j'ai réussi à finir enfin ce dm, je sais pas si ce ke j'ai fait est bon, si t'as besoin d'aide demande moi, ms par contre g rendu ma copie ... dc ca sera de mémoire!
bonne vacs (je pars lundi)

un indice pour les applications :
il faut en fct° des applications ke tu montre soit ke la borne inf est nulle soit kel est positive, pr chak cas fais un raisonnement par l'absurde! et montre ke au final t'arrive à une absurdité!
ensuite tu pourra direct conclure (en tt cas pr les question (i)

euh bah sinon pk g2-g1 < alpha,
ben deja essaie de faire un shéma :

  0               alpha  g1    g2   2*alpha
__|__________________|___|_____|_____|__________________________  R

et regarde la longueur des intervalles,
g1 et g2 € ]alpha,2*alpha[  donc la longueur de l'intervalle [g1,g2] < ]alpha,2*alpha[  et donc g2-g1 > 2*alpha - alpha = alpha

je pense qu'on est dans le même groupe effectivement, te rappelles-tu à kel rang tu étais jeudi??
tu fais koi kom 2nde option???

RE,
c'est marrant tout le monde vient d'Orsay apparement (moi j'y prépare l'agrégation)
Le fait que
Tu sais en particulier que
et
Donc

0               alpha  g1    g2   2*alpha
|___________|___|_____|_____|__________________________  R


dsl le chéma est mal passé

oula ça devient assez compliqué cette histoire
merci beaucoup du coup de main

euh ben deja ta pas td le mardi matin, dc on est au moins ds le même gp en topo, apres en td je sais pas,
euh jeudi a kel rang gT ...
euh je sais plus! lol
je crois ke je suis pasé au tableau (ddp)
ma 2nde option c sme

Mauricette, pour montrer que ton groupe n'est pas cyclique suppose qu'il l'est
Alors
Parcontre je ne peux pas t'aider à conclure car je n'ai pas compris ce que vérifier a et b.

Désolé j'avais pas vu que c'était pour hier

i) Soient a € R et b € R* tels que a/b /2 Q. Montrer que l'ensemble :

oups dsl!! erreur de frappe!
c :

i) Soient a € R et b € R* tels que a/b irrationnel. Montrer que l'ensemble :

lol nan nan c pas grave! en fait il a été reporT! (bon au final je l'ai deja rendu ms bon, pas titi91 )

ms je veux bien qd mêm ton avis voir si je suis pas completement à coté de la plak!

Bon c'est ce que je pensai
alors
Ainsi
Et
car a et b sont dans E
Donc en particulier

ah ouip, c vrai que c plus rapide comme ca!!
euh ben j'aV fait pareil, mais en me compliquant monstrueusement la vie!
j'ai donné une valeur à c = n0*a + m0*b
et euh j'ai posé :
a= n(n0*a + n0*b) et j'ai tt developpé! au final j'ai qd même obteu ce kil fallait; mais en galérant pas mal!

merci!

De rien, si vous avez d'autres questions n'hésitez pas

lol ouip ne t'inquiète pas pour ça!!!

merci vraiment énormément pour tous ces coups de pouce je vais me replonger dedans

euh ben de rien
bonne nuit!
et bon courage!
moi j'en suis au dm de math! je bute deja sur la 1ère question!

moi aussi t'inquiète j'ai préféré commencé par le deuxième exo qui me parait plus simple !