merci pour la 5! je crois que j'ai compris !
mais pk mets tu :
|lim(f(xn)-f(y))|<=k|0-y|<=ky
et pas :
|lim(f(x)-f(y))|<=k|0-y|<=ky   ??

sinon pr la 4 g tourner l'énoncé dans tout les sens essayer par l'absurde, pas par labsurde, mais j'arrive à rien ...

pour la 12 ... pffffiu ...euh
tu dit ke cune reunion indénombrable de fermé, mais ds ce cas ca n'est pas forcement fermé vu ke ce n'est pas une reunion finie
en koi le fait que d(Fj*,Fi*)>1/2 ns aide ?

merci encore

Pour la 12, si tu as une famille dénombrable de fermés tels que leur distance soit toujours supérieur à un réel u>0, l'union est forcément encore fermée.
L'idée est que tu prends une suite convergente (xn) vers l, dans l'union des Fi.
Puisqu'elle est convergente, pour tout e>0, il existe no tel que pour tout n>no d(xn,l)<e.
Tu es d'accord, c'est la définition.
Si je prend e<u, alors pour tout n>no, j'ai que d(xn,l)<u (*).
Notamment, la distance entre xn et un point de n'importe quel ensemble est supérieur à u, donc mon inégalité (*) n'est possible que dans un seul cas, le cas où xn et l sont dans le même ensemble à partir de no.
Donc en fait ma suite (xn) est on ne sait pas trop où pour les no premiers termes, et après elle est dans un seul des ensembles fermés.
Puisque cet ensemble (appelons le E) est fermé et que xn converge vers l, l est dans E par définition d'être fermé.

Si tu veux un exemple simple:
Z est fermé.
En effet, Z est l'union indénombrables des éléments {i}.
Si je prend 2 éléments de Z, ils sont forcément séparé d'une distance de 1 au moins. (puisque Z est l'ensemble contenant ... -4,-3,...,0,1,...,4,... etc)
Je prend un réel inférieur strictement à 1, mettons 1/2. Ca va jouer le role de u dans ma démo du dessus.
Soit (xn) une suite convergente de Z.
Puisque (xn) est convergente vers l, alors pour tout e>0, il existe no, tel que n>no implique que d(xn,l)<e.
Notamment si je prend e<1/2, ca veut dire qu'au bout d'un certain temps (no) ma suite est à une distance de moins de 1/2 de l.
Puisque tous les points sont séparés de au moins 1, et que là on trouve la distance est nulle, c'est que précisement xn=l à partir d'un certain temps. Donc Z est bien fermé

Dans la démonstration que je fais pour le 12, l'idée est principalement la même, il n'y a que la dernière étape qui change.
A+

Je pense qu'Otto devrait penser à faire un livre avec une sorte de "best of" eu égard à la qualité de ses posts, à sa patience, à sa sympathie et enfin pour sa passion pour les mathématiques.

OTTO : avec une écriture bâton ça fait symétrique (même jusqu'à son pseudo ...) me trompé-je ?

_____________________
Je suis nul en maths.

lol
ouip tu as raison!
j'admire tes connaissances mathématik !
et encore merci pour nous donner un peu de ton tps!

sinon pr en revenir à la 12, je viens de regarder et d'essayer de comprendre!
dc en fait si j'ai bienc compris, on a en fait montré que l était dans l'ensemble, donc que par def d'un fermé l'ensemble est fermé.
c bien ca ?
sinon comme distance entre les differents C_n moi je trouve 1 et c comme ca kon déduit le 1/2 qui en fait depend du m qu'on choisit
si m = 2 on a d(Fj*,Fi*)>1/2
et sinon par ex si m = 3 on a d(Fj*,Fi*)>1/3 ou > 2/3
donc en fait la on aurait que d(Fj*,Fi*)>1/m ou >(m-1)/m

je ne sais pas si j'ai bien compris ...

re ...
euh en fait la je viens d'essayer de le rediger
mais je blok
j'ai dit que deux éléments de F étaient distants de au moins 1
on prend une suite de F qui cv vers l

on a donc pour tout e>0, il existe no, tel que n>no => d(xn,l)<e.

on prend alors e<1 on a pour tout e>0, il existe no, tel que n>no => d(xn,l)<1.

mais arriver la en fait je vois pas pk l est dans F ...

pr moi justement il n'est pas dans F ...
a moins que xn=l

qd tu mets :

Notamment, la distance entre xn et un point de n'importe quel ensemble est supérieur à u, donc mon inégalité (*) n'est possible que dans un seul cas, le cas où xn et l sont dans le même ensemble à partir de no. --> ici je ne comprend pas pk ca n'est possible ke ds ce cas la ...

Donc en fait ma suite (xn) est on ne sait pas trop où pour les no premiers termes, et après elle est dans un seul des ensembles fermés.
--> ici ce ke je ne comprend pas, c ke la suite xn elle ne peut pas etre ds deux ensemble en même tps ... dc si elle appartient à F elle est forcement dans un seul des C_n ...

a moins ke je n'ai pas bien compris ... c'est x_n ou l qui appartient à F ?

Salut,
merci pour tous ceux compliments mais c'est un peu exagéré

Bon, alors un ensemble E est fermé si dès que je me donne une suite (xn) qui est dans E, et qui converge, alors sa limite est aussi dans E.
Un exemple pour que l'on comprenne bien:
]0,1] n'est pas fermé dans R puisque si je me donne la suite (xn)=(1/n) elle converge bien dans R, elle est bien tout le temps dans ]0,1], mais pas sa limite.


Bon, maintenant que les idées sont fixées, on va essayer de voir ce qui se passe:

Si je prend 2 ensembles A et B qui sont fermés tous les 2, et dont la distance est non nulle (la distance de 2 ensemble, on voit ce que c'est, ca la plus petite distance entre les points de A et les points de B)
Par exemple la distance de [0,1] à (3,7] c'est 3-1=2

Bon, je considère que la distance de A à B est u>0.
Je prend une suite (xn) dans C=A union B et qui converge. Je veux montrer que A union B est fermé, donc que la limite est dans A union B, donc soit dans A, soit dans B.

L'idée est celle ci:
ma suite converge, donc à partir d'un certain temps la distance entre xn et la limite L sera aussi petite que je veux.
Notamment elle sera plus petite que u/3. (on divise toujours par 2 ou 3 pour se laisser une marge de maneuvre si jamais on veut faire des sommes etc)
A PARTIR D'UN CERTAIN TEMPS (no), MA SUITE EST A UNE DISTANCE INFERIEURE A u/2 DE L.

Puisque Xn est dans A union B, a partir de ce no, Xn est toujours dans A union B.
On va montrer que les termes  X(no+1) X(no+2) X(no+3) ...
sont soit tous dans A, soit tous dans B
En effet, supposons que ce ne soit pas le cas, alors pour un certain k X(no+k-1) est dans A (resp B) et X(no+k) est dans B (resp A)

La distance de X(no+k-1) à L est inférieure à u/3 par hypothèse
La distance de X(no+k) à L est également inférieure à u/3 par hypothèse.

par inégalité triangulaire on trouve que la distance de X(no+k-1) à X(no+k) est inférieure à 2u/3.
Notamment, un des termes est dans A et l'autre dans B, et leur distance est inférieure à 2u/3
C'est impossible puisque la distance de A à B est justement de u.
Donc c'est impossible.

Donc les termes  X(no+1) X(no+2) X(no+3) ...
sont tous soit dans A, soit dans B.
Puisque cette suite est convergente, et qu'elle est toujours dans A ou dans B à partir de no, et que A et B sont fermés, alors la limite est elle aussi dans A ou dans B.
Donc L est dans A union B.
Donc A union B est fermé.

L'idée se généralise sans problème à une union quelconque de fermés.

Attention, il faut bien voir que si une union quelconque de fermés n'est en général pas fermée, c'est le cas si on ajoute cette condition supplémentaire sur la distance entre chacun des ensembles.

L'idée est que la distance sera plus grand qu'un certain epsilon donné et que c'est ca qui permet de conclure.
J'espère que c'est plus clair maintenant.

A+

merci bcp otto !

euh j'imprime et j'etudie ca !
gspr ke je vais comprendre !

encore merci merci merci bcp !!

oki
oui oui c clair! ya pas de pb ! j'ai compris cette démo. mais je ne sais pas si j'ai comprend le cas général ...

dans notre cours ns avons une union d'un nb fini de fermé est fermé
mais pas forcement si c'est une union de nb infini de fermé.

En fait à partir du moment où la distance entre les ensembles à "unir" est strictement positive, même une union infini de fermé sera fermée ?

Salut oui c'est ca, à cause de ma preuve notamment.

d'accord oki
merci bcp otto!