Je fais le 3/
La fonction xf(x)-x est continue sur ]0,1[ et ne s'annule pas donc garde un signe constant.
Deux cas à distinguer:
** x]0,1[ f(x)-x<0
dans ce cas vu que f arrive dans [0,1] on aurait
x]0,1[ 0f(x) x0
** x]0,1[ f(x)-x>0 et on aurait
x]0,1[ x1 et donc lim f(x) = 1
x1
bonne chance

1/ Soit A={1/n+(-1)n/(nn),n1}. Quelle est la borne supérieure de A? (ça j'ai réussi à le trouver) Quelle est la borne inférieure de A? (j'ai trouvé que 0 était un minorant mais je ne sais pas comment prouvé que c'est la borne inf)

Bein tu as trouvé, le montrer est assez simple en posant U(n)=1/n+(-1)^n/nracine(n)


2/ Soit f un homéomorphisme de [0,1] sur [0,1]. Montrer qur f(0)=0 ou f(0)=1. (on a pas vu en cours ce qu'est un homéomorphisme donc je ne peux vraiment pas répondre)
Un homéomorphisme est une fonction continue bijective et à réciproque continue.

3 et 4 il manque des hypothèses...


5/ Soit f une fonction lipschitzienne sur ]0,1]. Montrer que f possède une limite finie en 0.
f lipschitzienne signifie que pour tout x et y
|f(x)-f(y)| <= k|x-y|

essaie de t'en servir correctement.

7) Revois ton cours sur l'intégration.

8) Passe au log (pour voir)

Je te laisse réfléchir par toi même sur les autres (pas trop compliqué, ca ne prend pas des connaissances trop poussées, il faut juste les utiliser dans un nouveau contexte....)
a+

bjr pour la 3) c'est f(x) différent de x

pour la 4) c'est la même chose f() diff de x

et pour la 12, le prof avait dit ke:
"Montrer que F est fermé"
ce n'était pas F mais F U Z

Pour la 12 on voyait bien que F n'était pas fermé car F est l'ensemble des x+y avec x dans Z et y du type 1/m m>0 et 1+1/n convergeait dans R et pas dans F.

Il suffit de se servir de ce que je dis pour montrer le résultat:

Si je prend (fn) une suite convergente d'éléments de F, alors

il existe deux suites an et bn telles que
fn=an+bn avec an  dans Z et 1/bn dans N* ou bn nulle.



Notamment si je note Fn*=FnU{0} l'union des Fn* est une union indénombrable de fermés qui ont tous une certaine propriété les un par rapport aux autres...
d(Fj*,Fi*)>1/2
Je pense que ca permet de conclure sans trop de travail.
Si on aime pas ca, il suffit de revenir à la définition d'un fermé.
a+

Je pense que c'est plus "propre" si Fn*=Fn U Z
Ca me plaisait pas avant, le nombre 1 ne devait appartenir à aucun Fn sinon
a+

bon je fais la 1) pkelle me plait !

posons f(n) = 1/n  + (-1)^n / (nn)  A ={f(n),n1}

Montrons en effet que Inf A existe et vaut 0 et en fait c'est un minimum pas une borne Inf

f(n)0 <=> --- <=> (-1)ⁿ-n
                        <=> (-1)^n+1 n

on examine le cas pair et impair de n et on trouve que la derniere equivalence est toujours vrai (cela vient du fait que n>=1) donc il vient f(n)>=0 ce ci pour tout n>=1 ainsi A n'est pas vide (f (12) € A ) et A est minorée en tant que partie non vide et minorée de R A admet une borne Inf et comme 0 est un minorant et que Inf(A) est le plus grand des minorants il vient 0Inf(A)   maintnant ayons la curiosité de calculer f(1) = 0 donc 0€A et il vient donc Inf(A)0 puis Inf(A)=0 (= min(A))

7/ Un = 1/(n+1)   (0-->n) f(k/n)
      = f(0)/n+1 + 1/(n+1) (1-->n) f(k/n)
      = f(0)/n+1 + (n+1/n)*(1/n (1-->n) f(k/n))
      
(1/n (1-->n) f(k/n))  ---> (0-->1) f   (cours sur les séries de riemann)
n+1/n ~ 1

Un est convergente et lim Un = (0-->1) f

merci à tous je vais travaillé tout ça !

"et en fait c'est un minimum pas une borne Inf"
Un minimum c'est bien aussi une borne inférieure, non?
L'inverse est clairement faux.

Merci pour ce coup de main !
Pour la 5/ j'ai fait ça :
pour tous x et y |f(x)-f(y)|k|x-y|
par passage à la limite, on a
|lim(x0)f(x) - f(1)|k|0-1|
d'où -klim(x0)f(x) - f(1)k
donc -k+f(1)lim(x0)f(x)k+f(1)
donc f possède une limite finie en 0.
Je ne suis pas sur de pouvoir faire ça, donnez moi votre avis svp.

Pour la 7/, je sais que lim u_n=(01)f(t)dt et que u_n est une somme de Riemann mais en fait je ne sais pas si c'est ce qu'ils veulent que l'on dise de la suite u_n

Pour la 8/ en fait je ne voit vraiment pas à quoi ça sert de passer par le log, quand ils demandent d'étudier la suite, ils demandent si elle est croissante ou décroissante? et si elle a des limites??? c'est ça?

Pour la 5, ce que tu fais est faux, tu passes à la limite sans savoir si tu as le droit.
Tu montres que si elle admet une limite, alors elle est finie, mais tu ne montres pas que la limite existe, ce qui est une des 2étapes.
Revient à la définition de limite.

7)Tu ne perds rien à le dire de tout façon, et ensuite tu ne peus pas dire tellement plus.

8)Dis un maximum de choses, et sert toi peut être de la question précédente...

pour la 5/ il me faudrait un petit coup de main stp car je ne sais vraiment pas comment faire pour montrer que la limite existe

Essaie de prendre deux suites (xn) et (yn) qui convergent vers 0 et regardent ce qui se passe.
a+

je ne vois pas en quoi ça m'avance !!

Et si tu le fais, ca donne quoi?

ba ché pas trop elle sont égales à partir d'un certain rang n, non??

N'importe quoi...

jsui nul certe ! mais c'est bien pour ça que je demande de l'aide et je ne comprends rien à ce que tu me dis ! j'ai besoin d'indices plus clairs !!!

oui otto je suis daccor que un min est un inf mais je le précisé juste comme ca j'ai pas di que ct faux de dire que c'est un inf c'est juste .. moins précis !

_{Je sais que ca n'a rien à voir avec le topic mais je voulais demander à otto si son pseudo ne venait pas de "otto...mathique" qui est une enigme du web}

attention je sens que je vais faire une arnaque je sais pas pk mais jle sens aujourdui !!!


5/ -Posons xn = 1/n+1 il est clair que (xn) € ]0,1]
f est lipmachin sur ]0,1] donc il existe un k tel que
|f(xn) - f(1)|k|xn - 1|

puis |f(xn)|k|xn-1| - f(1)

xn € ]0,1] donc xn - 1 ]-1,0] et la suite xn - 1 est bornée donc il existe un M €R+ tel que |xn - 1|M
Posons N = kM - f(1)

pour tout n |f(xn)|N  la suite (f(xn)) est bornée donc daprés bolzano wierstrass on peut en extraire une sous suite qui converge disons f(x(phi(n)) x(phi(n)) étant extraite de xn elle converge aussi vers 0 puis lim f en 0+ existe et est finie !

moué bof lol

Jiju33:
|f(xn)|<k|xn-1| - f(1)

Ca ca tombe du ciel parce que c'est clairement faux.
Tu peux le voir si tu prends f=id

|1/2-1/4|<1|1/2-1/4|
Et en appliquant ton inégalité on trouve
|1/2|<1/4-1/4=0 si je ne me trompe pas

Pour l'histoire du inf, je suis d'accord avec toi.
Et pour otto-mathique, jamais entendu parler, qu'est ce dont?

La manière la plus simple est celle-ci:

On montre que la fonction est bornée.
On montre que f ne peut pas ne pas avoir de limite en 0 (ie il existe 2suites (xn) et (yn) qui tendent vers 0 et telles que f(xn) et f(yn) tendent vers 2 limites différentes)

Sinon il y'a des manière un peu plus "topologiques" de montrer le résultat.

C'est une enigme très corsée que j'ai pu voir sur le net, j'ai tout de suite pensé à toi

ah voui jme suis carément trompé sur linegalité triangulaire abusé !!!! jété vraiment fatigué désolé lol

la question 9 est complètement triviale : il ne risque pas d'y avoir de points rationnels sur le cercle de centre 0 et de rayon sqrt(pi).

la question 10 aussi d'ailleurs : un cercle, c'est un ensemble non dénombrable, et Q l'est.

merci à tous !

rebonjour à tous,
malgré votre aide, je n'ai toujours pas réussit les questions 4-9-11 et 12
merci de votre aide !

On t'a déjà plus ou moins rédigé 4-9 et 12.
As tu déterminé A et B dans 11?
Qu'as tu trouvé?

ba je les ai déterminer mais justement je ne suis pas sur, enfin surtout pour l'intersection
j'ai trouvé :
A=]-,1] si c'est bon je sais que c'est fermé
B=[-1,0] pareil si c'est bon je sais que c'est fermé

pour la 9 effectivement je n'avais pas vu désolé

par contre pour la 4 je ne vois pas où est-ce qu'on ma répondu

pour la 12, je ne comprends pas pourquoi tu me dis :
"on voyait bien que F n'était pas fermé car F est l'ensemble des x+y avec x dans Z et y du type 1/m m>0 et 1+1/n convergeait dans R et pas dans F."
car on me demande de démontrer que F EST fermé

Mais il y'a une erreur d'énoncé non?
Puisque ce n'est pas vrai.

Pour le 11 pourquoi considères tu les bornes?

pour la 12, je ne sais pas si y'a une erreur mais en tout cas c'est bien marqué "Montrer que F est fermé"

pour la 11, euh je me suis trompé pour les bornes 1 et -1
par contre pour 0 je ne savais vraiment pas si fallait ouvrir ou fermer
donc ça doit être :
A=]-,1[
B=]-1,0[
c'est bon ???

Ca me semble correct.
Amicalement,
otto

merci beaucoup
par contre pour la 4 je ne vois tjs pas où sont les pistes

pour la question 12/, il n'y a pas d'erreur dans l'énoncé car j'ai trouvé que son complémentaire U=\F=(n)]n-1/m,n+(m-1)/m[ était une réunion infini d'ouverts (qui est donc un ouvert) donc F est fermé

pour la 12 je vous remets ce ke j'avais mis :

et pour la 12, le prof avait dit ke:
"Montrer que F est fermé"
ce n'était pas F mais F U Z

Je ne suis pas convaincu, regarde la suite xm=1/m. Elle est bien dans F et converge vers 0 et 0 n'est pas dans F.
A moins que j'ai mal lu le truc.

Je répondais à titi, je suis d'accord avec le résultat de Mauricette.

Je te propose un exercice qui pourra te servir plus tard et qui est intéressant pour le numéro 12:

Soit (Fn) une suite de fermés d'un espace métrique (X,d)
S'il existe u tel que pour tout n et m d(Fn,Fm)>u, alors l'union quelconque des (Fn) est fermée.
L'idée est que les ensembles sont suffisament loin les un des autres pour que les ensembles soit fermés. ie les ensembles sont suffisament loin pour que pour tout epsilon, il existe no a partir duquel bla bla bla et la limite reste dans l'ensemble.
Notamment ca marche si on pose epsilon < u.

Bonne chance.
A+

merci pour l'info mauricette mais je ne comprends pas parce que U=R\F que j'ai écris plus haut me parait être bon et ce complémentaire est ouvert donc à priori F devrait être fermé
enfin bref, Mauricette t'as réussi à montrer que FUZ est fermé?? et quand on demande d'écrire le complémentaire on doit donner U=R\FUZ ???? ou tjs U=R\F ????

Si tu as étudié ma suite tu vois bien que ce n'est pas fermé, donc que tu as du faire une erreur.
Pour ta dernière question, essaie de donner u=R\(FUZ) car c'est ca qui est important et qui sera ouvert.
Essaie de le trouver directement, ca prouvera ton résultat.
A+

oui mais on nous demande de montrer que c'est fermé avant de chercher le complémentaire

sinon pour le complémentaire de F, je suis d'accord avec toi mais je ne vois pas où j'aurai fait une erreur

j'ai trouvé U=R\(FUZ)= (n)]n-1/m,n[]n,n+(m-1)/m[
c'est bon à ton avis??

Salut !
euh titi pr repondre à ta question euh ben je peux pas pke j'ai pas réussi la question 12 !

Si qqun voulait bien essayer de m'expliquer les questions que je n'arrive pas à faire :

la 4 tjrs (comme titi je crois), je n'ai pas non plus vu d'indications ...

la 5 euh ben notre prof ns avait dit d'utiliser les suites de cauchy et d'etudier les suites qui convergeait vers 0 ... et il nous avait parlé d'un raisonnement par l'absurde ... mais je n'arrive pas ...

et puis ben la 12

pour la 8 avec le prof ns avons rencontrer un petit souci ...
c ke après avoir utiliser riemman on trouve que ln(un) --> int de 0 à 1 de ln(cos(t*Pi/3)) dt et on a pas réussi à calculer cette intégrale ...

merci d'avance !

Pour la 4 et la 5, essaie un raisonnement par l'absurde.
Notamment j'avais pensé aux suites de Cauchy, mais c'est pas clair de montrer que ton ensemble est complet.
Sinon tu peux t'en tirer comme je t'ai dit:
S'il n'existe pas de limite finie alors
1-soit la limite est infinie
2-soit il n'y a pas de limite

On exclut facilement le cas 1, et donc s'il n'y a pas de limite, c'est qu'il existe 2 sous suites qui convergent vers 2 limites différentes (ce que l'on appelle des valeurs d'adhérence)
Et là tu conclus facilement.

Pour la 8 l'intégrale n'est pas triviale, je pense que ce n'est pas la peine de la calculer.

Pour la 12:
essaie avec les indications que je t'ai donné, sinon passe au complémentaire.
3e possibilité, prend une suite dans FUZ qui converge et regarde ou se trouve la limite (j'ai pas regardé ce que ca donnait)

Pour la 5, imagine que la limite soit infinie:

|lim(f(xn)-f(y))|<=k|0-y|<=ky
On pose par exemple y=1 et on voit que +ook
Contradiction

Alors lim f(xn) n'est pas infinie.

On suppose alors que cette limite n'existe pas, donc il existe deux points d'accumulations distincts a1 et a2.
Ca veut dire qu'il existe deux suites (xn) et (yn) qui convergent vers 0 et telles que f(xn)->a1 et f(yn)->a2

Notamment
lim |f(xn)-f(yn)|<=k lim |xn-yn|

Par continuité de la valeur absolue (étape zapée dans ma démo du dessus) on a
|lim f(xn)-f(yn)|<=k |lim (xn-yn)|

Puisque xn->0 et yn->0 on trouve

lim (f(xn)-f(yn))=0
et donc f(xn)-f(yn)->0 or f(xn)->a1 et f(yn)->a2 et a1=a2
Contradiction car a1 et a2 sont distincts.

Donc f est bornée, et ne peut pas ne pas avoir de limite.
Donc f admet une limite, et elle est finie.

A+

Bon j'ai supprimé quelques étapes et raisonnements, mais l'idée principale est rédigée.