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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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topologie

Posté par
Nyadis
02-12-19 à 14:25

Soit  Ê un espace topologique séparé
soit F une partie compacte de E qui n'est pas connexe .
montrer qu'il existe deux ouvert de E disjoints O1 et O2 de E tel que

FO1O2

avec FO1 du vide
de même FO2 différent du vide


Mon avis
comme F n'est pas connexe alors on peut trouver deux ouvert de F qu'on note A1 et A2 disjoint non vide tel que  F=A1A2
or d'après la topologie induite
On a A1= O1F
de même A2=O2F

on montre que O1 et O2 sont non vide mais j'arrive pas à montrer qu'ils sont disjoint et surtout je vois pas trop comment utiliser la compacité de F

Posté par
Nyadis
re : topologie 02-12-19 à 14:26

Il faut noté que O1 et O2 sont non vide

Merci de vos réponse

Posté par
etniopal
re : topologie 02-12-19 à 14:56

F est un compact non connexe

Il existe donc 2 fermés  non vides  K e t H  tels que  { K , H } soit une partition de F .

Tout revient donc à montrer qu'il existe U et V ouverts vérifiant  K U , H V et U   V = .

Posté par
Ulmiere
re : topologie 02-12-19 à 15:01

Ca, je pense que ça ne marche que dans un espace normal.
Un espace T_2 (séparé Hausdorff) n'est pas forcément T_4

Posté par
Ulmiere
re : topologie 02-12-19 à 15:06

Par contre, un espace compact est automatiquement normal. Il faut utiliser ça

Posté par
etniopal
re : topologie 02-12-19 à 17:22

Soit E un topologique  séparé . Disons qu'on peut séparer 2 parties  A , B d E s'il 'il existe U et V ouverts vérifiant  A    U , B   V et U    V = .

1.On peut séparer un singleton  a et un compact (non vide) K .
         pr: Pour tout x de K soient U(x) et  V(x) des ouverts disjoints tels que a   U(x) , x   V(x) et U(x)    V(x) = .
On peut trouver une partie finie X de K  telle que  [ V(x) │ x   X } soit un recouvrement de K .

L'intersection U des U(x)  ( x dans X)  est un ouvert contenant a et disjoint de l'ouvert  V réunion    des V(x)  (x dans X)   .  U et V sont disjoints  et V contient K .

2.On peut séparer 2 compacts A et B a par A et K par B . (non vides) disjoints .
   preuve analogue  

Posté par
Ulmiere
re : topologie 02-12-19 à 18:00

Ou, en utilisant ton message de 14:56
- si E est compact, il est normal et tout est OK
- sinon, on peut travailler dans un compact de E qui contient strictement F. Dans ce sous-espace topologique normal, tout est OK. Cela répond à la question car on ne cherche de toute façon qu'une inclusion



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