Soit Ê un espace topologique séparé
soit F une partie compacte de E qui n'est pas connexe .
montrer qu'il existe deux ouvert de E disjoints O1 et O2 de E tel que
FO1O2
avec FO1 du vide
de même FO2 différent du vide
Mon avis
comme F n'est pas connexe alors on peut trouver deux ouvert de F qu'on note A1 et A2 disjoint non vide tel que F=A1A2
or d'après la topologie induite
On a A1= O1F
de même A2=O2F
on montre que O1 et O2 sont non vide mais j'arrive pas à montrer qu'ils sont disjoint et surtout je vois pas trop comment utiliser la compacité de F
F est un compact non connexe
Il existe donc 2 fermés non vides K e t H tels que { K , H } soit une partition de F .
Tout revient donc à montrer qu'il existe U et V ouverts vérifiant K U , H V et U V = .
Ca, je pense que ça ne marche que dans un espace normal.
Un espace (séparé Hausdorff) n'est pas forcément
Soit E un topologique séparé . Disons qu'on peut séparer 2 parties A , B d E s'il 'il existe U et V ouverts vérifiant A U , B V et U V = .
1.On peut séparer un singleton a et un compact (non vide) K .
pr: Pour tout x de K soient U(x) et V(x) des ouverts disjoints tels que a U(x) , x V(x) et U(x) V(x) = .
On peut trouver une partie finie X de K telle que [ V(x) │ x X } soit un recouvrement de K .
L'intersection U des U(x) ( x dans X) est un ouvert contenant a et disjoint de l'ouvert V réunion des V(x) (x dans X) . U et V sont disjoints et V contient K .
2.On peut séparer 2 compacts A et B a par A et K par B . (non vides) disjoints .
preuve analogue
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