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Topologie
Bonjour,
1. Montrer que 
n est fermé. Que peut-on dire d'une suite convergente à valeurs dans n ?
2. Proposer une réunion dénombrable (i.e. indexée sur N) de singletons qui ne soit pas fermée. Vérifier également que la réunion non dénombrable 
x∈R {exp(x)} n'est pas fermée.
3. Montrer que la boule ouverte unité est un ouvert et que la boule fermée unité est un fermé.
1. n est un fermé car son complémentaire 
n \ n est un ouvert. (ce n'est pas une demonstration)
On peut dire d'une telle suite qu'elle converge dans n d'après une proposition sur les fermés (est ce que c'est ce qui est attendu ? )
2. L'ensemble {1/n} est (à priori ) une reunion dénombrable de singletons, pourtant ce n'est pas un fermé de , car notamment 0 n'est pas intérieur à son complémentaire ]1/n;1/(n+1)[ (estce bon?)
puis j'aurais tendance x∈R {exp(x)} à dire l'inverse que c'est un fermé puisque son complémentaire est un ouvert ... (est ce qu'on peut se représenter geométriquement cet ensemble comme étant la "fonction" exponentielle ?
(je ne saurais répondre)
3. La boule ouverte unité est un ouvert car toute boule ouverte de n est un ouvert (mais ce n'est pas une demonstration)
De même pour La boule ouverte unité est un fermé car toute boule fermée de n est un fermée (mais ce n'est pas une demonstration)
en vous remerciant à tous
Bonsoir
1) tu peux utiliser simplement le fait que Z est fermé dans R, et par produit cartésien fini, Z^n est fermé
2) L'ensemble est un bon choix mais la démonstration est mal faite : utilise les suites pour montrer qu'il n'est pas fermé à cause du 0
Ensuite, n'est pas vraiment la courbe de exp, ce serait plutôt
est équivalent à dire
Ou sinon tu peux aussi le faire par les suites, en 0, c'est toujours le même problème
3) évidemment, ça ne suffit pas
tu peux utiliser la caractérisation des ouverts avec , ça se traite bien
et pour la boule fermée, la continuité de la norme marche bien
et si tu n'as pas vu ça, la définition avec epsilon marche aussi
BonjourZormuche
c'est compliqué pour moi ... le recours aux suites dans ces choses là
aussi, je ne vois pas la différence entre les ensembles exp que tu présentes
Utiliser les suites pour montrer qu'un truc n'est pas fermé c'est tres simple, il suffit de trouver une suite d'éléments du truc qui converge vers une valeur qui n'est pas dans le truc
Pour l'union des {1/n}, il ya une suite évidente qui démontre que ce n'est pas fermé
Ensuite pour les deux ensembles avec exp, l'un est une partie de R, l'autre est une partie de R^2
On se donne un entier n > 0 et on muni n dela norme euclidienne .
1.
Une suite convergente u : 
n telle que u() 
n est stationnaire .
Si c = lim(u) on a : c 
n puisque celui ci est fermé .
2. La boule ouverte BO(c , 1/2) étant un ouvert (cf 3.) contenant c contient aussi tous les u(n) pour n assez grand . Or BO(c , 1/2) 
n = [c} .
u est donc stationnaire .
2.
A := x∈R {exp(x)} n'est autre que exp() càd { exp(x) │ x } .
A n'est pas un fermé de puisque la suite n 
exp(-n) converge vers 0 qui n'est pas dans A .
3.
" la boule ouverte unité est un ouvert et la boule fermée unité est un fermé" comme dans tout espace métrique .
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