Bonjour,
Si X est un espace topologique, et Y est un sous ensemble de X, alors l'ensmble des pour U ouvert de X est une topologie sur Y. C'est ce qu'on appelle la topologie induite de X sur Y.

C'est la topologie la moins fine, rendant rendant l'inclusion de Y dans X continue.

Ici X c'est R, avec sa topologie usuelle (euclidienne) et Y c'est Q^*.

Bonsoir !

D'accord, si je reprends :

1) Soit un espace topologique et un sous-ensemble de .
Soit U un ouvert de , est une topologie sur
(Donc je ne me sers pas de ma définition que j'avais dans mon cours.)

a)  f est continue si les images réciproques des ouverts sont ouverts, ie.
pour tout

Soit un ouvert de
Or les ouverts de sont les unions d'intervalles ouverts de .

Et maintenant il faut que je calcule
Sachant que pour
Est- ce que cela veut dire que or est un ouvert donc

J'ai un peu de mal pour commencer, excusez-moi

Bonjour,

Je me permets de faire un double post, parce que j'ai réfléchi et je change de "stratégie".

J'ai réussi à montrer qu'une base de est un singleton : {q} et de même pour .

Cela devrait m'avancer !

Soit
donc f est continue

1b) Soit

1c) Soit
Donc pour tout
Donc
Donc par définition n'est pas plus fine que
(Je ne suis pas sûre pour cette question)

2) Je ne sais pas comment m'y prendre ...

N'hésitez pas à me corriger !

Il est faux que pour la topologie T_2, les singletons soient ouverts.

Bonjour,

Je ne comprends pas ce qui est faux.
Parlez-vous de la question 1c ?

Aussi, on sait que la topologie discrète est la plus fine et comme alors  ne peut pas être plus fine que

Je parle de cette partie là

LauraLe @ 26-10-2020 à 19:23



J'ai réussi à montrer qu'une base de est un singleton : {q} et de même pour .

Mais pourtant on sait que est dense dans

et dense si et seulement si

Et si je prends avec alors

Donc les singletons forment une base de

Par conséquent, pouvez-vous me proposez votre réponse s'il vous plaît ?

Une base d'une topologie, c'est une famille d'ouverts, tel que tout ouvert est réunion d'éléments de cette famille. Par exemple, dans un espace métrique les boules ouvertes forment une base de la topologie.

Ici pour T_2, {q} n'est pas ouvert. Ca n'est pas une base e T_2.

Une base de T_2 est formée par exemple par les "intervalles rationnels", i.e les sous ensemble des Q^* donnée par pour tout couple de réels (s,t), ce sont les intersections où I est un intervalle ouvert de R.

Oui c'est vrai qu'un singleton est fermé.

Si je reprends :

est dense dans (

et est dense si et seulement si

où est un intervalle ouvert rationnel (Cela revient je pense à votre )

Du coup pour montrer que f est continue comment faut-il procéder ?

En fait quand on dit soit je n'arrive pas à écrire . Quand j'avais dit qu'une base de était (ce qui est faux on est d'accord mais c'est pour vous expliquer ce que je ne comprends pas) un élément de était alors un singleton mais dans notre cas maintenant je n'arrive pas à voir ...

Bonsoir,
pour montrer que f est continue on peut montrer que l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert.
Et on se demande quels sont les ouverts pour la topologie discrète.

Bonsoir,

Par définition de la topologie discrète, tous les points de sont ouverts.
Mais ce que je n'arrive pas à prendre c'est un ouvert de
Parce que du coup on a dit qu'une base de est formée par les "intervalles rationnelles". Mais du coup je ne sais pas quoi mettre dans mais je sais que est un élément de

Par définition de la topologie discrète, toutes les parties de sont ouvertes.
Donc est toujours un ouvert.
C'est en particulier vrai si A est un ouvert de

Excusez-moi mais je ne comprends pas pourquoi est toujours un ouvert pour tout

Pour la topologie discrète sur un ensemble X tous les sous-ensembles de X sont des ouverts.

Et du coup est une partie de ?


Si je rédige la première question :

1a)
Par définition de la topologie discrète, toutes les parties de sont ouvertes
Or , est une partie de
Donc est toujours un ouvert.
C'est en particulier vrai si A est un ouvert de
Donc f est continue

N'hésitez à me reprendre !

1b)
f est ouverte si pour tout
donc est un ouvert.
Est-ce que cela veut dire que est un ouvert ?
Et comment je peux savoir appartient à sachant qu'une base de ce sont les intervalles rationnelles.

Re !

Je  me permets de reécrire parce qu'avec du recul j'ai compris pas mal de choses !

1a) Oui effectivement j'ai compris

1b) J'a trouvé un contre exemple et f n'est pas ouverte

1c) La plus fine est la topologie discrète donc n'est pas une topologie sur X plus fine que (Je ne sais pas si cela suffit !)

2) Je "sens" que (ce qui m'arrangerait pas la suite) mais je n'arrive pas à le montrer

Bonsoir,
c'est bon pour la question 1.
Je n'avais pas vu la question 2 mais, à vu d'œil, je ne crois pas qu'il existe une topologie T₁ convenable.
Ceci étant dit sans aucune garantie.

Mais bien sur si est définie par alors .

Finalement je crois qu'il y a une topologie T₁ convenable.
On peut penser à la droite projective privée d'un point.

Bonsoir ,

Oui effectivement on a bien

Mais du coup j'aimerai montré que et donc que

Et je pensais que vu que f=f^{-1}
alors tout ouvert de appartient aussi à
En fait qu'ils ont les mêmes ouverts mais je n'arrive pas à l'exprimer

Ils ne peuvent pas avoir la même topologie.
Sinon f est discontinue sur les intervalles du type ]-a;a[.
Mais on peut sans doute s'en sortir en rajoutant un point à l'infini.

Pour la 1.c il faut egalement que tu prouves aussi à mon avis que que n'est pas T_1, ce qui n'est pas bien difficile.

Pour le 2), vu que f est une bijection, elle est automtiquement un homeo pour la topologie image inverse (celle pour laquelle les ouverts sont les f^{-1}(U) avec U ouvert).

Mais ici tu peux la décrire tres simplement. Ne vois tu pas une topologie evidente pour laquelle f est un homeo?
Si tu avais R^* au lieu de Q^*, tu saurais le faire? Si oui, alors c'est fini, car f préserve Q^*.

1.c
Montrons que
Pour tout
Donc

2
Un topologie pour laquelle f est un homéomorphisme peut donc être la topologie image inverse ?

Je ne vois pas de topologie "évidente" mais je me dis que la topologie pourrait peut être marché

1c) Je ne comprends pas alors ce que vous me dites

2)Je me suis trompée pour parce qu'on est en dimension 1, excusez-moi.

Je ne vois pas de topologie évidente.
Mais après je vois que si j'ai une topologie pour laquelle dans est un homéomorphisme alors ça sera pareil pour

1c) Ah oui ! Du coup je n'arrive pas à montrer non que ce ne peut pas être égal.
Parce que la topologie discrète contient l'ensemble vide et X. Mais est-ce que contient ces deux éléments ?

2 Pour la topologie euclidienne,  est continue de dans si les images réciproques des ouverts sont ouverts.
Si f est continue alors

Tu ne sais pas que la fonction inverse est continue de R^* dans R^*? Tu sais ca depuis le lycée normalement.

1c) Est-ce que la topologie euclidienne contient l'ensemble vide ?

2) Ah oui ! Mais je pensais cétait différent dans une topologie.
Si je rédige:

Pour la topologie euclidienne , est continue de dans car la fonction inverse est continue dans R^* dans R^* (ici * signifie R privé de 0)

Or on a remarqué alors est aussi continue.

De plus, il est évident que f est une bijection.

Par conséquent de dans    est un homéomorphisme.

Or f préserve par conséquent, de dans    est un homéomorphisme.

N'hésitez pas à me reprendre s'il y a des éléments faux

Je dis des bêtises bien sur que l'ensemble vide appartient à la topologie euclidienne par définition !
Par conséquent comment montrer que ?

La continuité dans un espace topologique généralise les autres notions de continuité que tu as vues.
Dans un espace métrique, il y a équivalence entre la notion "topologique" (avec les ouverts) et la notion "métrique" (avec les epsilon delta) de continuité. La topologiue euclidienne sur R^* étant sa topologie usuelle, celle définie par la valeur absolue, dire que l'inverse est continue pour la topologie euclidienne, c'est exactement la meme chose que savoir que l'inverse est continue pour la définition du lycée.

Je trouve ta rédaction pas très bonne, on a par moment l'impression que tu ne comprends pas ce que tu écris.

Pour la 1.c, essaie avec un singleton par exemple.

Oui j'avais oublié !

J'ai montré que f est un homéomorphisme de dans et comme et f préserve alors f est un homéomorphisme de dans .

Pour la 1c. J'avais pensé au singleton , il appartient à mais pas à

0 n'est pas dans Q^*.

Mais aucun singleton n'appartient à

Ben non, en effet.

C'est bien le point.

Par conséquent car un singleton appartient à mais pas à )  ?

Ben oui, mais sais tu le montrer proprement?

Par définition de la topologie discrète tout point est ouvert donc un singleton appartient à
Mais un singleton n'appartient pas à donc ne peux pas appartenir à

C'est peu convaincant je trouve. Tu devrais écrire une vraie demonstration.