Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Topologie
Bonjour, pourriez-vous m'aider avec cet exercice ?
Soit E un espace vectoriel normé.
On veut montrer que si E est complet, alors l'intersection dénombrable d'ouverts dense et encore dense (mais plus forcement un ouvert). On suppose désormais E complet.
1) Soit (Bn) une suite de boule fermées qui soit décroissante pour l'inclusion (Bn+1 
Bn pour tout n) et dont les rayons tendent vers 0. On note xn le centre de Bn pour tout n.
Montrer que la suite (xn) converge, et que 
n 
1 Bn = {limn xn}
2) On se donne une suite (Un) d'ouverts denses, ainsi qu'un ouvert U non vide. Construire par récurrence sur n une suite de boules (Bn) vérifiant les conditions de la question précédente et vérifiant de plus Bn Un 
U pour tout n.
3) en déduire que (n1 Un) U 
et conclure.
4) Montrer que quelle que soit la norme qu'on met sur l'espace 
[X] des polynômes à coefficient réel, l'espace vectoriel normé obtenu ne peut pas être complet.
Je ne vois pas du tout comment faire.
Merci d'avance pour votre aide.
Rebonjour
Tu pourrais essayer un peu.
1) Il faut montrer que est une suite de Cauchy. Quoi d'autre dans un espace complet?
j'ai cette définition pour une suite de Cauchy : Soit A E. On dira qu'une suite (an)n de A est de Cauchy si 
>0, 
n 
tel que n n , m n , || an - am || 
et comme définition d'espace complet :
Soit A E. On dira que A est une partie complète de E si toute suite suite de Cauchy de A est convergente dans A. Si A=E alors on dira que E est complet.
Mais je ne vois pas a quoi sert le fait que E soit complet dans cette question car ce n'est pas préciser que la suite B est dans E
Pour la 1), si je fais :
Bn = { xn E; ||xn - x || rn} (définition d'un fermé).
Donc ||xn - x || 
0 (quand n +
car les rayons tendent vers 0). Ainsi, xn x et donc la suite (xn) converge.
Est ce correcte ?
Annuler
connectez vous
topologie en post-bac